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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.8 - Ex. 09

Seja R a regiao no primeiro quadrante do plano xy delimitada pelas hiperboles xy = 1, xy = 9 e as retas y = x, y = 4x. Utilize a transformacao x = u/v , y = uv com u > 0 e v > 0 para reescrever

∬ R y x + x y   d x   d y

como uma integral sobre uma regiao apropriada G no plano uv. Em seguida, calcule a integral uv sobre G.

Passo 1

Faaaaalaaa meus abençoados, tudo blz? Vamos resolver essa questão de integral dupla na simpliidade ?

Sabemos que ,

x = u v   e   y = u v

Assim, podemos dizer que

y x = v 2   e     x y = u 2

Assim,

∂ x , y ∂ u , v = J u , v =   v - 1 - u v - 2 v u = v - 1 u + v - 1 u = 2 u v  

Sendo assim podemos dizer que:

y = x → u v = u v → v = 1

y = 4 x → v = 2

x y = 1 → u = 1

x y = 9 → u = 3

Passo 2

Agora sim resolvendo a integral vamos ter,

∬ R y x + x y   d x   d y   = ∫ 1 3 ∫ 1 2 v + u 2 u v d v d u = ∫ 1 3 ∫ 1 2 ( 2 u + 2 u 2 v )   d v   d u = ∫ 1 3 2 u v + 2 u 2 ln ⁡ v 1 2 d u = ∫ 1 3 [ 2 u + 2 u 2 ln ⁡ 2 ] d u = u 2 + 2 3 u 2 ln ⁡ 2 1 3 = 8 + 2 3 26 l n 2 = 8 + 52 3 ( l n 2 )

Resposta

8 + 52 3 ( l n 2 )

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