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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.8 - Ex. 03

a) Resolva o sistema u = 3x + 2y, v = x + 4y , para x e y em termos de u e v. Em seguida, encontre o valor do jacobiano ∂(x, y)/∂(u, v).

b) Encontre a imagem pela transformação u = 3x + 2y, v = x +4y da regiao triangular no plano xy delimitada pelo eixo x, eixo y e a reta x + y = 1. Esboce a regiao transformada no

plano uv.

Passo 1

Faaaaalaaa meus abençoados, tudo blz?

Então vamos resolver primeiro o sistema dado na letra (a) em que

u = 3 x + 2 y

v = x + 4 y

Com isso,

- 5 x = - 2 u + v

y = 1 2 ( u - 3 x )

Com isso ,

x = 1 5 2 u - v e y = 1 10   ( 3 v - u )

Agora resolvendo o jacobiano vamos ficar com ,

∂ x , y ∂ ( u , v ) = 2 5 - 1 5 - 1 10 3 10 = 6 50 - 1 50 = 1 10

Passo 2

Já na letra (b) ele pede para achar a imagem pela transformação u = 3x + 2y, v = x +4y da regiao triangular no plano xy delimitada pelo eixo x, eixo y e a reta x + y = 1.

Com o eixo y = 0 → u = 3 v   e o eixo x = 0 → v = 2 u a linha x+ vai ficar,

1 5 2 u - v + 1 10 3 v - u = 1

2 2 u - v + 3 v - u = 10

3 u + v = 10

Resposta

3 u + v = 10

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