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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.8 - Ex. 10

a) Encontre o jacobiano da transformacao x = u, y = uv e esboce a regiao G: 1 ≤ u ≤ 2, 1 ≤ uv ≤ 2, no plano uv.

b) Em seguida, utilize a Equacao 1 para transformar a integral

∫ 1 2 ∫ 1 2 y x   d y   d x

em uma integral sobre G e calcule ambas as integrais.

Passo 1

Faaaaalaaa meus abençoados, tudo blz?

na letra (a) vamos ter que encontrar o jacobiano da transformação que vai ficar assim,

∂ x , y ∂ u , v = J u , v =   1 0 v u = u

Agora esboçando o gráfico da região G ele fica,

Passo 2

Já na letra (b) sendo,

x = 1 → u = 1 y = 1 → u v = 1 → v = 1 u

x = 2 → u = 2 y = 2 → u v = 2 → v = 2 u

Com isso vamos ter que,

∫ 1 2 ∫ 1 2 y x   d y   d x =   ∫ 1 2 ∫ 1 u 2 u u v u u   d v d u =   ∫ 1 2 ∫ 1 u 2 u u v   d v d u =   ∫ 1 2 u v 2 2 1 u 2 u =   ∫ 1 2 u 2 u 2 - 1 2 u 2 d u = 3 2   ∫ 1 2 u 1 u 2 d u = 3 2   ln ⁡ u 1 2 = 3 2 ln ⁡ 2  

Resposta

3 2 ln ⁡ 2  

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