Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.7 - Ex. 82

Para quais valores de a integral converge? Qual é o valor da integral quando ela converge ? Trace o gráfico do integrando para vários valores de

Passo 1

Incialmente analisaremos a integral impropria. Para isso é importante lembrar que

Ou seja, precisamos avaliar quando e quando . Sendo assim, separaremos nosso intervalo de integração em dois, ou seja,

Passo 2

Analisando,

Veremos que

Para calcularmos as integrais improprias acima, precisaremos chamar , para assim tomarmos o limite de e chamaremos , para assim tomarmos o limite de . Sendo assim,

Utilizando integração por partes, suponha

Sendo assim,

Logo,

De maneira análoga encontraremos que

Passo 3

Perceba que,

Precisamos agora, analisar os valores que deve assumir, para que a integral seja convergente.

Analisando o limite que está dando problema teremos

Perceba que quando teremos que o limite será da forma:

Reescrevendo a função,

Sendo assim podemos utilizar L’Hospital, ou seja,

Daí,

Logo,

Portanto, é convergente para

Passo 4

Perceba que,

Desejamos encontrar um valor de , de maneira que exista. Sendo assim, perceberemos que para , teremos,

Isso acontece, pois como então a potência vai para o denominador com o expoente positivo.

Chegamos numa indeterminação do tipo . Com isso, podemos utilizar L’Hospital, ou seja,

Já quando olhamos para o outro limite e supomos que obtemos também que

Portanto,

Converge para e quando isso acontece,

Passo 5

Perceba que na integral que queremos analisar,

precisamos estabelecer quais valores fazem com que aquelas duas integrais sejam convergentes simultaneamente. Porém, ao analisarmos cada uma vimos que para o intervalo de , já no intervalo , isso significa que não como estabelecermos valores para de maneira que as duas integrais sejam convergentes ao mesmo tempo.