Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.7 - Ex. 28

Calcule a integral abaixo sem usar tabela:

int_0^1 (4 r)/(sqrt(1 - r^4)) d r

Passo 1

Nessa questão devemos aplicar a técnica de integração por substituição . Esse método consiste em fazer uma troca de uma parte de uma função f(x) por uma variável simples (u) e que resulte em um du=f’(x) conveniente que irá possibilitar a integração, geralmente esse resultado é parte de outra função contida no integrando. Após integrar, você deve substituir a variável simples pela função que você a usou para substituir.

int_0^1 (4 r)/(sqrt(1 - r^4)) d r

u = r^2 d u = 2 r d r

Passo 2

Aplicando a substituição e retirando a constante do integrando temos:

int_0^1 (4 r)/(sqrt(1 - r^4)) d r = int_0^1 (2)/(sqrt(1 - u^2)) d u = 2 int_0^1 (1)/(sqrt(1 - u^2)) d u

Passo 3

Agora utilizaremos a integração primitiva trigonométrica:

int (1)/(sqrt(1 - x^2)) d x = s e n^(- 1) ( x ) + C

Assim:

2 int_0^1 (1)/(sqrt(1 - u^2)) d u = [ 2 s e n^(- 1) (u) ] (1)/(0)

Passo 4

Por fim substituiremos u pela função que atribuímos e os limites de integração. Relembrando que de forma genérica ele é feito da seguinte maneira:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Assim:

[2 s e n^(- 1) (u)] (1)/(0) = [2 s e n^(- 1) (r^2)] (1)/(0) = [2 s e n^(- 1) (1) - 2 s e n^(- 1) (0)] = 2 ((pi)/(2)) - 0 = pi

Resposta

pi

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

O “Projeto Lixo”, da Universidade do Arizona, relata que a quantidade de papel descartada pelas casas por semana tem uma distribuição normal com média de 4,3k g e desvio padrão de 1,9k g . Qual a porc
A gerente de uma lanchonete determina que o tempo médio de espera de seus clientes para serem atendidos seja de 2,5 minutos. Calcule a probabilidade de um cliente ter de esperar mais de4 minutos. Calc
A roleta de um jogo de mesa indica aleatoriamente um número real entre 0 e 10 . A roleta é honesta, no sentido de que indica um número em um dado intervalo com a mesma probabilidade que indica um núme
O desvio padrão para uma variável aleatória com função densidade de probabilidade f e média μ é definido como σ = ∫ - ∞ ∞ x - μ 2 f x d x 1 2 Calcule o desvio padrão para uma função densidade exponenc
Explique por que a função cujo gráfico é mostrado é uma função densidade de probabilidade. Use o gráfico para encontrar as seguintes probabilidades: P ( X3 ) P ( 3 ≤ X ≤ 8 ) Calcule a média.