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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.Exercícios Práticos - Ex. 18

Calcule a integral. Talvez seja necessário utilizar uma substituição primeiro

∫ ( 3 v - 7 ) ( v - 1 ) ( v - 2 ) ( v - 3 )   d v

Passo 1

Inicialmente, perceba que o grau do polinômio de baixo é maior que o de cima.

∫ ( 3 v - 7 ) ( v - 1 ) ( v - 2 ) ( v - 3 )   d v

Onde as raízes do denominador são v = 1 , v = 2 e v = 3

Passo 2

Note que o denominador é um produto de fatores lineares . Dessa maneira, podemos utilizar o método de Heaviside para decompor ( 3 v - 7 ) ( v - 1 ) ( v - 2 ) ( v - 3 )   em frações parciais.

Como as raízes de do denominador são v = 1 , v = 2 e v = 3 . Determinamos,

A 1 = ( 3.1 - 7 ) ( 1 - 2 ) ( 1 - 3 )   = - 4 2 = - 2

Lembrando que ( v - 1 ) foi oculto do denominador.

A 2 = ( 3.2 - 7 ) ( 2 - 1 ) ( 2 - 3 )   = - 1 - 1 = 1

Lembrando que ( v - 2 ) foi oculto do denominador.

A 3 = ( 3.3 - 7 ) ( v - 1 ) ( v - 2 )   = 2 2 = 1

Lembrando que ( v - 3 ) foi oculto do denominador.

Logo,

( 3 v - 7 ) ( v - 1 ) ( v - 2 ) ( v - 3 )   = A 1 ( v - 1 ) + A 2 v - 2 + A 3 v - 3

= - 2 v - 1 + 1 v - 2 + 1 v - 3

Passo 3

Precisamos agora, calcular a integral

∫ - 2 v - 1 + 1 v - 2 + 1 v - 3 d v

Utilizando a propriedade da soma

= ∫ - 2 v - 1 d v + ∫ 1 v - 2 d v + ∫ 1 v - 3 d v

Usando a propriedade da retirada da constante

= - 2 ∫ 1 v - 1 d v + ∫ 1 v - 2 d v + ∫ 1 v - 3 d v

Utilizando o método de substituição em cada uma das integrais acima teremos,

= - 2 ln ⁡ v - 1 + ln ⁡ v - 2 + l n ⁡ | v - 3 |

Portanto,

∫ ( 3 v - 7 ) ( v - 1 ) ( v - 2 ) ( v - 3 )   d v = - 2 ln ⁡ v - 1 + ln ⁡ v - 2 + ln ⁡ v - 3 + C

Todas as integrais que calculamos foram indefinidas, sendo assim em cada uma delas era necessário um constante, porém, para economia de notação preferimos acrescentar uma única constante C , ao final. Já que ela corresponderá a soma de todas as constantes não acrescentadas até o momento.

Resposta

∫ ( 3 v - 7 ) ( v - 1 ) ( v - 2 ) ( v - 3 )   d v = - 2 ln ⁡ v - 1 + ln ⁡ v - 2 + ln ⁡ v - 3 + C

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