Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 4.7 - Ex. 63
Um varejista está vendendo tablets por semana a cada. O departamento de marketing estima que tablets adicionais sejam vendidos a cada semana por cada que o preço for reduzido.
(a) Encontre a função preço.
(b) Qual deve ser o preço estabelecido para maximizar a receita?
(C) Se a função custo semanal do varejista é
Qual preço deve ser escolhido para maximizar seus lucros.
Passo 1
E aí! tudo certinho?
Nesse problema temos um varejista que vende tablets por semana com um preço de cada. Foi dito que a de redução de preço o número de vendas semanais cresce tablets.
A partir daí queremos encontrar a função preço, o valor de cada tablet para maximizar a receita e se a função custo for
Queremos saber qual deve ser o preço para maximizar o lucro.
Parece complicado?
A função preço varia linearmente em relação ao número de tablets vendidos... cada tablet custa dolares se vendermos tablets. Mas se vendermos cada tablet a dolares, o número de tablets vendidos sobe para .
Com isso temos um sistema linear que podemos desenvolver para encontrar a função preço.
A receita é o preço de cada tablet multiplicado pela quantidade de tablets vendidos... consegue ver isso? Então com isso vamos obter uma função receita dada por
Onde é a função preço... e para maximizar essa função derivamos e igualamos a para encontrar seus pontos críticos.
E por último, vamos fazer o mesmo levando em consideração a função custo...
Sacou? Bora começar!
Passo 2
A função preço é linear, ou seja
Quando são vendidos , .
Caso seja reduzido o preço, então serão vendidos tables,
Então:
Resolvendo esse sistema, temos
A função é dada então por:
Tranquilo até aqui?
Passo 3
A receita é o produto do preço pela quantidade de tablets vendidos.
Então:
O valor crítico de pode ser encontrado a partir da derivada desta função igualada a :
Pela regra da potência, temos
Agora, devemos calcular o preço que esses tablets serão vendidos.
Para isto, vamos usar a equação encontrada na letra (a):
Logo, para maximizar a receita, os tablets devem ser vendidos a .
Show?
Passo 4
A função custo vale:
Já a função lucro vai ser a diferença da receita e do custo:
Para encontrar o valor crítico de , devemos calcular o valor de para que sua derivada seja zero assim como fizemos no passo anterior.
Então o lucro será de:
Para essa quantidade de tablets, temos que aplicar a função preço
É isso! O que achou? Responde Aí!
Resposta
a)
b)
c)