Verdadeiro ou falso? Quando x → infinito .

  1. 1 / (x + 3) = O(1 / x)
  2. 1/x + 1/x^2 = O(1/x)
  3. 1/x - 1/x^2 = o (1/x)
  4. 2 + cos(x) = O(2)
  5. e^x + x = O(e^x)
  6. x ln(x) = o(x^2)
  7. ln(ln(x)) = O(ln(x))
  8. ln(x) = o(ln(x^2 + 1))

Passo 1

Bom, o enunciado pede para verificar se é verdadeiro ou falso quanto a ordem de crescimento das funções quando x -> oo ?

Mas o que seria esses “o” e “O”? Para isso, vamos relembrar as definições:

Temos uma função f de ordem menor que g quando x -> oo :

underset(x -> oo)(lim) (f ( x ))/(g ( x )) = 0

Quando isso ocorre dizemos que f é “ozinho” de g ou f = o ( g )

Show! E como verificamos se f é ozão de g . Bom, para isso, temos que fazer o seguinte:

(f ( x ))/(g ( x )) <= M

Onde M é um inteiro positivo.

E representamos f = O (g) .

Agora vamos verificar item por item. Beleza?

  1. ((1)/(x + 3))/((1)/(x)) = (x)/(x + 3) < 1

    Se x > 1 ou suficientemente grande. Portanto o item é verdadeiro.

    Passo 2

  2. ((1)/(x) + (1)/(x^2))/((1)/(x)) = 1 + (1)/(x) < 2

    Se x > 1 ou suficientemente grande. Portanto o item é verdadeiro.

    Passo 3

underset(x -> oo)(l i m) (((1)/(x) - (1)/(x^2)))/((1)/(x)) = underset(x -> oo)(l i m) (1 - (1)/(x)) = 1

Logo, f ( x ) não é o ( g ( x ) . Item falso.

Passo 2

d)

Temos que 2 + cos x < 3 -> (2 + cos x)/(2) < (3)/(2) para um x suficientemente grande

Logo, concluímos que o tem é verdadeiro

Passo 3

  1. Temos : (e^x + x)/(e^x) = 1 + (x)/(e^x) . Desde que (x)/(e^x) tende a zero quando x -> oo então podemos afirmar que:
  2. 1 + (x)/(e^x) < 2 para um x suficientemente grande

    Logo, o item é verdadeiro

    Passo 6

  3. Vamos verificar o limite:
  4. underset(x -> oo)(l i m) (x ln x)/(x^2) = underset(x -> oo)(l i m) (ln x)/(x) = underset(x -> oo)(l i m) ((1)/(x))/(1) = 0

    Logo, o item é verdadeiro

    Passo 7

  5. Façamos:
  6. (ln ( ln x ))/(ln x) < (ln x)/(ln x) = 1 para um x suficientemente grande

    Logo, o item é verdadeiro

    Passo 8

  7. Vamos verificar:

underset(x -> oo)(l i m) (ln x)/(ln ( x^2 + 1 )) = underset(x -> oo)(l i m) (((1)/(x))/((2 x)/(x^2 + 1))) = underset(x -> oo)(l i m) ((1)/(2) + (1)/(2 x^2)) = (1)/(2)

Logo o item é falso

Resposta

São Verdadeiros: a,b,d,e,f,g,

São Falsos: c,h

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