Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 7.4 - Ex. 10

Verdadeiro ou falso? Quando x -> oo .

  1. (1)/(x + 3) = O ((1)/(x))
  2. (1)/(x) + (1)/(x^2) = O ((1)/(x))
  3. (1)/(x) - (1)/(x^2) = o ((1)/(x))
  4. 2 + cos x = O ( 2 )
  5. e^x + x = O ( e^x )
  6. x ln x = o ( x^2 )
  7. ln ( ln x ) = O ( ln x )
  8. ln x = o ( ln ( x^2 + 1 ) )

Passo 1

Bom, o enunciado pede para verificar se é verdadeiro ou falso quanto a ordem de crescimento das funções quando x -> oo ?

Mas o que seria esses “o” e “O”? Para isso, vamos relembrar as definições:

Temos uma função f de ordem menor que g quando x -> oo :

underset(x -> oo)(lim) (f ( x ))/(g ( x )) = 0

Quando isso ocorre dizemos que f é “ozinho” de g ou f = o ( g )

Show! E como verificamos se f é ozão de g . Bom, para isso, temos que fazer o seguinte:

(f ( x ))/(g ( x )) <= M

Onde M é um inteiro positivo.

E representamos f = O (g) .

Agora vamos verificar item por item. Beleza?

  1. ((1)/(x + 3))/((1)/(x)) = (x)/(x + 3) < 1

    Se x > 1 ou suficientemente grande. Portanto o item é verdadeiro.

    Passo 2

  2. ((1)/(x) + (1)/(x^2))/((1)/(x)) = 1 + (1)/(x) < 2

    Se x > 1 ou suficientemente grande. Portanto o item é verdadeiro.

    Passo 3

underset(x -> oo)(l i m) (((1)/(x) - (1)/(x^2)))/((1)/(x)) = underset(x -> oo)(l i m) (1 - (1)/(x)) = 1

Logo, f ( x ) não é o ( g ( x ) . Item falso.

Passo 2

d)

Temos que 2 + cos x < 3 -> (2 + cos x)/(2) < (3)/(2) para um x suficientemente grande

Logo, concluímos que o tem é verdadeiro

Passo 3

  1. Temos : (e^x + x)/(e^x) = 1 + (x)/(e^x) . Desde que (x)/(e^x) tende a zero quando x -> oo então podemos afirmar que:

    2. 1 + (x)/(e^x) < 2 para um x suficientemente grande

    Logo, o item é verdadeiro

    Passo 6

  2. Vamos verificar o limite:

    3. underset(x -> oo)(l i m) (x ln x)/(x^2) = underset(x -> oo)(l i m) (ln x)/(x) = underset(x -> oo)(l i m) ((1)/(x))/(1) = 0

    Logo, o item é verdadeiro

    Passo 7

  3. Façamos:

    4. (ln ( ln x ))/(ln x) < (ln x)/(ln x) = 1 para um x suficientemente grande

    Logo, o item é verdadeiro

    Passo 8

  4. Vamos verificar:

underset(x -> oo)(l i m) (ln x)/(ln ( x^2 + 1 )) = underset(x -> oo)(l i m) (((1)/(x))/((2 x)/(x^2 + 1))) = underset(x -> oo)(l i m) ((1)/(2) + (1)/(2 x^2)) = (1)/(2)

Logo o item é falso

Resposta

São Verdadeiros: a,b,d,e,f,g,

São Falsos: c,h

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Verdadeiro ou falso? Quando x - oo .x = o ( x ) x = o ( x + 5 ) x = O ( x + 5 ) x = O ( 2 x ) e^x = o ( e^(2 x) ) x + ln x = O ( x ) ln x = o ( ln 2 x ) sqrt(x^2 + 5) = O ( x )
Qual das seguintes funções cresce mais rapidamente do que ln ⁡ x quando x → ∞ ? Qual cresce à mesma taxa que ln ⁡ x ? E qual cresce mais lentamente? log 3 ⁡ x ln ⁡ 2 x ln ⁡ x x x 5 ln ⁡ x 1 x e x
Ordene as seguintes funções, daquela com crescimento mais lento para aquela com crescimento mais rápido quando x → ∞ . 2 x x 2 ( ln ⁡ 2 ) x e x
Qual das seguintes funções cresce mais rapidamente do que x 2 quando x → ∞ ? Qual cresce à mesma taxa que x 2 ? E qual cresce mais lentamente? x 2 + x 10 x 2 x 2 e - x log 10 ⁡ x 2 x 3 - x 2 1 10 x (
Qual das seguintes funções cresce mais rapidamente do que e x quando x → ∞ ? Qual cresce à mesma taxa que e x ? E qual cresce mais lentamente? x - 3 x 3 + sin 2 ⁡ x x 4 x 3 2 x e x 2 e x 2 log 10 ⁡ x