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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 7.4 - Ex. 1

Qual das seguintes funções cresce mais rapidamente do que e x quando x → ∞ ? Qual cresce à mesma taxa que e x ? E qual cresce mais lentamente?

  1. x - 3
  2. x 3 + sin 2 ⁡ x
  3. x
  4. 4 x
  5. 3 2 x
  6. e x 2
  7. e x 2
  8. log 10 ⁡ x

Passo 1

Bom, o enunciado pele para verificar quais funções crescem mais rapidamente que e x quando x → ∞ ? Quais crescem à mesma taxa que e x ? E quais crescem mais lentamente?

Para isso, vamos precisar lembrar da definição das taxas relativas de crescimento

Taxas de crescimento quando x → ∞

Sejam f ( x ) e g ( x ) positivas para um x suficientemente grande.

  1. f cresce mais rapidamente do que g quando x → ∞ se

    2. lim x → ∞ ⁡ f ( x ) g ( x ) =   ∞

    ou, de modo equivalente, se

    lim x → ∞ ⁡ g ( x ) f ( x ) =   0

    Dizemos também que g cresce mais lentamente do que f quando x → ∞ .

  2. f e g crescem à mesma taxa quando x → ∞

lim x → ∞ ⁡ f ( x ) g ( x ) =   L

onde L é finito e positivo.

  1. O item a, pede para verificar a função x - 3 em relação a e x . Vamos verificar:

    2. lim x → ∞ ⁡ x - 3 e x

    Como temos uma indeterminação vamos aplicar a regra de L’Hospital:

    lim x → ∞ ⁡ 1 e x = 0

    Logo, o item a, cresce mais lentamente.

    Passo 2

  2. Vamos calcular o limite:

    3. lim x → ∞ ⁡ x 3 + sin 2 ⁡ x   e x

    Como temos uma indeterminação vamos aplicar a regra de L’Hospital:

    lim x → ∞ ⁡ 3 x 2 + 2 sin x cos x  ⁡   e x

    lim x → ∞ ⁡ 6 x + 2 cos ⁡ 2 x   e x

    lim x → ∞ ⁡ 6 - 4 sin ⁡ 2 x e x

    Pelo Teorema do Sanduiche temos o seguinte:

    2 e x , ≤   6 - 4 sin ⁡ 2 x e x ≤ 10 e x

    E como lim x → ∞ ⁡ 2 e x = 0   e lim x → ∞ ⁡ 10 e x = 0 temos:

    lim x → ∞ ⁡ 6 - 4 sin ⁡ 2 x e x = 0

    Logo, o item b, cresce mais lentamente

    Passo 3

  3. Vamos verificar:

    4. lim x → ∞ ⁡ x e x

    Como temos uma indeterminação vamos aplicar a regra de L’Hospital:

    lim x → ∞ ⁡ x 1 2 e x

    lim x → ∞ ⁡ 1 2 x - 1 2 e x =   lim x → ∞ ⁡ 1 2 x e x = 0

    Logo, o item c, cresce mais lentamente

    Passo 4

  4. Vamos verificar:

    5. lim x → ∞ ⁡ 4 x e x =   lim x → ∞ ⁡ 4 e x = ∞ , pois 4 e > 1

    Portanto cresce mais rapidamente

    Passo 5

  5. Vamos verificar:

    6. lim x → ∞ ⁡ 3 2 x e x =   lim x → ∞ ⁡ 3 2 e x = 0   , pois 3 2 e < 1

    Logo, o item e, cresce mais lentamente

    Passo 6

  6. Vamos verificar:

    7. lim x → ∞ ⁡ e x 2 e x =   lim x → ∞ ⁡ 1 e x 2 = 0

    Logo, o item f, cresce mais lentamente

    Passo 7

  7. Vamos verificar:

    8. lim x → ∞ ⁡ e x 2 e x =   lim x → ∞ ⁡ 1 2 = 1 2

    Logo, o item g cresce à mesma taxa que e x

    Passo 8

  8. Verificando, temos:

lim x → ∞ ⁡ log 10 ⁡ x e x =   ln ⁡ x ( ln ⁡ 10 )   e x =   1 x ( ln ⁡ 10 )   e x =   1 ( ln ⁡ 10 ) x   e x = 0

Portanto, o item h, cresce mais lentamente

Resposta

Crescem mais lentamente: a, b, c ,e, f, h

Crescem mais rapidamente: d,

Crescem à mesma taxa: g

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