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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 7.3 - Ex. 33

Nos Exercícios 25-36, determine a derivada de y em relação à variável adequada.

y = arccsch ⁡ 1 2 θ

Passo 1

Para resolver o exercício, vamos começar aplicando a regra da cadeia:

d f u d θ = d f d u ∙ d u d θ

Onde,

f = arccsch ⁡ u

u = 1 2 θ

Assim,

d arccsch ⁡ 1 2 θ d θ = d arccsch ⁡ u d u ∙ d 1 2 θ d θ

Passo 2

Vamos calcular a primeira derivada:

d f d u = d arccsch ⁡ u d u = - 1 1 u 2 + 1 u 2

Já a segunda derivada:

d u d θ = d 1 2 θ d θ = - ln ⁡ 2 1 2 θ

Passo 3

Juntando as derivadas calculadas:

d arccsch ⁡ 1 2 θ d θ = d arccsch ⁡ u d u ∙ d 1 2 θ d θ

d arccsch ⁡ 1 2 θ d θ = - 1 1 u 2 + 1 u 2 ∙ - ln ⁡ 2 1 2 θ

Revertendo para a variável original:

d arccsch ⁡ 1 2 θ d θ = - 1 1 1 2 θ 2 + 1 1 2 θ 2 ∙ - ln ⁡ 2 1 2 θ

d arccsch ⁡ 1 2 θ d θ = ln ⁡ 2 1 2 θ 1 1 2 2 θ + 1 1 2 2 θ = ln ⁡ 2 1 1 2 2 θ + 1 1 2 θ = ln ⁡ 2 1 + 1 2 2 θ 1 2 2 θ 1 2 θ = ln ⁡ 2 1 + 1 2 2 θ

Prontinho!!!

Resposta

ln ⁡ 2 1 + 1 2 2 θ

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Determine a derivada de y em função da variável adequada.
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