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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 2.14 - Ex. 27g

Verificar se as curvas dadas estão parametrizadas pelo comprimento de arco:

r → s = ln ⁡ ( s + 1 ) i → + s 3 3 + s 2 j → ,   s ≥ 0

Passo 1

Pra verificar se uma curva está parametrizada pelo comprimento de arco, a gente só tem um trabalho: vamos derivar a parametrização da curva e calcular o módulo dessa derivada. Se o módulo for igual a 1 , podemos dizer que sim, ela está parametrizada pelo comprimento de arco! Então é isso que vamos fazer.

Passo 2

A nossa função r → ( s ) é:

r → s = ln ⁡ s + 1 i → + s 3 3 + s 2 j →

Que pode ser escrita daquele jeito que estamos mais acostumados!

r → s = ln ⁡ s + 1 , s 3 3 + s 2

Derivando,

r ' → s = 1 s + 1 , 3 s 2 3 + 2 s

Arrumando,

r ' → s = 1 s + 1 , s 2 + 2 s

Passo 3

Prontinho, temos a função derivada. Agora vamos ver se o módulo dessa derivada é unitário:

r ' → s 2 = 1 s + 1 2 + s 2 + 2 s 2

Desenvolvendo,

r ' → s 2 = 1 s + 1 2 + s 4 + 4 s 3 + 4 s 2

Então, se isso é unitário ou não, pode até ser, mas é sempre unitário? Não necessariamente! Pra s = 0 , por exemplo, o módulo vai dar 1 , mas pra outros valores como s = 1 , não dá. Então não podemos garantir, e por isso, a função não está parametrizada pelo comprimento de arco.

Resposta

Não está parametrizada pelo comprimento de arco.

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Escrever a função comprimento de arco de: r → t = a cos 3 ⁡ t ,as e n 3 t ,t ∈ 0 , π 2
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