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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.8 - Ex. 82

Verifique a fórmula abaixo por meio da diferenciação.

∫ sen - 1 ⁡ x 2 d x = x sen - 1 ⁡ x 2 - 2 x + 2 1 - x 2 sen - 1 ⁡ x + C

Passo 1

Como a integral e a derivada são operações inversas, podemos verificar se uma é solução da outra aplicando sua operação inversa. Derivaremos a resposta dada para verificar se realmente é a solução da integral.

Passo 2

Derivaremos a solução dada usando regra da cadeia, do produto e de funções trigonométricas inversas. Teremos:

1 × sen - 1 ⁡ x 2 + x × 2   ( sen - 1 ⁡ x ) × 1 1 - x 2 - 2 + 2 × - 2 x 2 1 - x 2 sen - 1 ⁡ x + 2 1 - x 2 1 - x 2

Isso não é nem de longe a expressão simplificada que pediram para integrar. Vamos simplifica-la passo a passo.

sen - 1 ⁡ x 2 + 2 x sen - 1 ⁡ x 1 - x 2 - 2 + - 2 x ( sen - 1 ⁡ x ) 1 - x 2 + 2

sen - 1 ⁡ x 2 + 2 x sen - 1 ⁡ x 1 - x 2 - 2 - 2 x ( sen - 1 ⁡ x ) 1 - x 2 + 2

sen - 1 ⁡ x 2 + 2 x sen - 1 ⁡ x 1 - x 2 - 2 x ( sen - 1 ⁡ x ) 1 - x 2

sen - 1 ⁡ x 2

Resposta

A resposta foi encontrada para a solução dada.

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Encontre a antiderivada mais geral da função. (Verifique sua resposta por diferenciação.) f x = x 12 x + 8
Encontre f . f ' ' x = 1 x 2
Encontre a antiderivada mais geral da função. (Verifique sua resposta por diferenciação.) f x = x - 5 2
Encontre f . f ' ' x = e x - 2 sen ⁡ x , f 0 = 3 , f π 2 = 0
Encontre a antiderivada mais geral da função. (Verifique sua resposta por diferenciação.) f x = 2 x 4 + 4 x 3 - x x 3 ,x0