Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 4.9 - Ex. 45
Encontre .
Passo 1
Fala aí, tudo certinho com você?
Bom, essa questão pede pra gente encontrar a função , sabendo que sua derivada de segunda ordem é dada por
Além disso também sabemos que
Vamos lá, para achar vamos ter que achar a antiderivada geral, sabemos que uma função é chamada de antiderivada de em um intervalo se:
para todo em .
Ou seja, queremos saber qual é a função que quando derivamos, resulta nessa que o enunciado deu pra gente,
E se é uma antiderivada de nesse intervalo, então a antiderivada mais geral de em é:
onde é uma constante qualquer.
Para o nosso caso, usaremos a informação do ponto conhecido
Aplicando diretamente na função, e isso ajudará a gente a descobrir o valor dessa constante .
Pronto, então vamos achar a antiderivada, pra isso temos que achar uma função que derivando nós encontramos .
Para achar vamos ter que achar a antiderivada duas vezes, vamos lá!
Passo 2
Nossa informação inicial é de que:
Então precisamos lembrar que a antiderivada da função é:
E da exponencial é da forma:
Sendo assim, basta aplicar esses valore a nossa derivada de segunda ordem para acharmos a derivada de primeira ordem. Assim:
Ou melhor:
Maravilha
Passo 3
Vamos agora vamos antiderivar mais uma vez, dessa vez aplicando em , usando as fórmulas de antiderivada do passo , e lembrando que a antiderivada do é dada por:
Assim:
Perceba que temos dois valores desconhecidos, que são nossas constantes de integração.
Passo 4
Agora vamos usar as informações que o enunciado nos deu para encontrar o valor dessas constante.
Usando os pontos e para achar o valor de e , teremos,
Para:
O que nos dá:
Com:
E para
Teremos:
Que nos dará:
Maravilha.
Agora, basta substituir o valor de e na expressão:
E prontinho, achamos !!