Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 4.9 - Ex. 21
Encontre a antiderivada mais geral da função. (Verifique sua resposta por diferenciação.)
Passo 1
Fala aí. Tudo certinho por aí?
Bom, essa questão dá pra gente a função
E pede pra gente encontrar sua antiderivada mais geral.
Para isso, precisamos lembrar que a antidevada é o processo inverso da derivação.
Então, sabemos que uma função é chamada de antiderivada de em um intervalo se:
para todo em .
E se é uma antiderivada de nesse intervalo, então a antiderivada mais geral de em é:
onde é uma constante qualquer.
Pronto, então para achar a antiderivada, temos que achar uma função que derivando nós encontramos .
Passo 2
Primeiro vamos manipular a função fazendo a divisão para eliminar o denominador:
Vamos agora achar a antiderivada da função .
E pra isso, temos que a antiderivada da função geral com , de e de uma constante são da forma:
Agora é só aplicar essas regras para cada um dos termos:
E assim, a antiderivada será:
Passo 3
Vamos agora checar, para isso temos que derivar . Sendo:
E usando a regra do expoente.
Pronto, tá tudo certo!