Encontre a antiderivada mais geral da função. (Verifique sua resposta por diferenciação.)

f(x) = (2*x^4 + 4*x^3 - x) / (x^3), x > 0

Passo 1

Fala aí. Tudo certinho por aí?

Bom, essa questão dá pra gente a função

f x = 2 x 4 + 4 x 3 - x x 3 ,   x > 0

E pede pra gente encontrar sua antiderivada mais geral.

Para isso, precisamos lembrar que a antidevada é o processo inverso da derivação.

Então, sabemos que uma função F é chamada de antiderivada de f em um intervalo I se:

F ' x = f x

para todo x em I .

E se F é uma antiderivada de f nesse intervalo, então a antiderivada mais geral de f em I é:

F x + C

onde C é uma constante qualquer.

Pronto, então para achar a antiderivada, temos que achar uma função que derivando f nós encontramos F .

Passo 2

Primeiro vamos manipular a função fazendo a divisão para eliminar o denominador:

f x = 2 x 4 + 4 x 3 - x x 3

f x = 2 x + 4 - x - 2

Vamos agora achar a antiderivada F da função f .

E pra isso, temos que a antiderivada da função geral x n com n ≠ 1 , de c f x e de uma constante são da forma:

x n + 1 n + 1

c F x

c x

Agora é só aplicar essas regras para cada um dos termos:

F x = 2 ⋅ x 1 + 1 1 + 1 + 4 x - 1 ⋅ x - 2 + 1 - 2 + 1 + C

F x = 2 ⋅ x 2 2 + 4 x - x - 1 - 1 + C

F x = x 2 + 4 x + x - 1 + C

E assim, a antiderivada será:

F x 4 x + 1 x + C

Passo 3

Vamos agora checar, para isso temos que derivar F x . Sendo:

F x 4 x + 1 x + C

E usando a regra do expoente.

F ' x = 2 x 2 - 1 + 4 x 1 - 1 + - 1 x - 1 - 1 + 0

F ' x = 2 x + 4 ⋅ x 0 - x - 2

F ' x = 2 x + 4 - x - 2

Pronto, tá tudo certo!

Resposta

F x = x 2 + 4 x + 1 x + C

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