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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 4.2 - Ex. 7

Verifique se a função satisfaz às 3 hipóteses do teorema de Rolle no intervalo dado e ache todos os valores que satisfaçam a conclusão.

f x = sin ⁡ x 2 ,     π 2 ,   3 π 2

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que nosso probleminha está falando.

Bom, ele nos pede para analisar se a nossa funçãozinha é compatível com o teorema de Rolles e, se for, para achar todos os valores possíveis.

A função e o intervalo é:

f x = sin ⁡ x 2 ,     π 2 ,   3 π 2

Tem ideia de como fazemos isso?

Nosso primeiro passo vai ser relembrar a definição do teorema de Rolle.

“Sendo f a função que satisfaça às seguintes condições:

  1. f é contínua no intervalo fechado de a , b ;
  2. f é diferenciável no intervalo aberto de a , b ;
  3. f a = f b .

Então há um número c no intervalo aberto a , b onde f ' c = 0 ”

Bom, com o teorema fresquinho na nossa cabeça agora, vamos analisar nossa função.

Bora lá!

Passo 2

Por ser uma função trigonométrica, ela é contínua e diferenciável no intervalo. Então os quesitos 1 e 2 do teorema de Rolle são satisfeitos.

Os extremos têm os mesmos valores de funções.

f π 2 = sin ⁡ π 2 2 = 2 2

f 3 π 2 = sin ⁡ 3 π 2 2 = 2 2

f π 2 = f 3 π 2

Então o quesito 3 tambem é satisfeito.

Então só nos resta derivar a função f e verificar os valores de c tais que f ' c = 0 dentro do intervalo - 2,2 .

Pela regra da cadeia...

f x = sin ⁡ x 2 → f ' x = d x 2 d x · d sin ⁡ u d u

f ' x = 1 2 · cos ⁡ u

f ' x = cos ⁡ x 2 2

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Aplicando o ponto x = c e igualando a 0 .

f ' c = cos ⁡ c 2 2 = 0

cos ⁡ c 2 = 0

c 2 = arccos ⁡ 0

O resultado de arccos ⁡ 0 é uma família de valores dados por

c 2 = π 2 + π n

c = π + 2 π n

Porém só estamos interessados nos valores dentro do nosso intervalo π 2 ,   3 π 2 ...

Logo, temos que

c = π

É isso! O que achou? Responde Aí!

Resposta

c = π

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