Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 4.2 - Ex. 2
Verifique que a função satisfaz as três hipóteses do Teorema de Rolle no intervalo dado. Então, encontre todos os números que satisfazem à conclusão do Teorema de Rolle.
Passo 1
Fala aí, tudo certinho com você?
Bem, essa questão dá pra gente a função
E pede pra gente verificar que ela satisfaz as três hipóteses do Teorema de Rolle no intervalo dado.
Além disso, precisaremos encontrar todos os valores de que satisfazem à conclusão desse Teorema.
Então, vamos relembrar o que esse Teorema diz.
se (i) a função for contínua num intervalo fechado
(ii) se ela for derivável no aberto
(iii) se (ela tiver os mesmos valores nos extremos do intervalo)
então deve existir um número dentro do intervalo onde a derivada se anula
O que precisamos fazer é verificar que a função dada satisfaz as três hipóteses mencionadas acima e daí tentar encontrar os pontos em que a derivada da função se anula.
Vamos nessa!
Passo 2
Bom, como a função é um polinômio, ela é contínua e derivável em toda parte, de modo que as duas primeiras condições são automaticamente satisfeitas.
Além disso, note que se
Nos extremos do intervalo as funções serão:
E
Então, como
a terceira hipótese também é satisfeita: assim, o Teorema de Rolle é válido!!!
Passo 3
Agora que já sabemos que o teorema é válido, vamos tentar achar os pontos que anulam a derivada. Derivando a função, obtemos
Tomando
Podemos resolver essa equação pela fórmula de Bháskara:
Como as duas respostas estão dentro do intervalo considerado e são consideradas válidas pelo teorema.