Verifique que a função satisfaz as três hipóteses do Teorema de Rolle no intervalo dado. Então, encontre todos os números c que satisfazem à conclusão do Teorema de Rolle.

f x = x 3 - 3 x 2 + 2 x + 5 ,     [ 0,2 ]

Passo 1

Fala aí, tudo certinho com você?

Bem, essa questão dá pra gente a função

f x = x 3 - 3 x 2 + 2 x + 5 ,     [ 0,2 ]

E pede pra gente verificar que ela satisfaz as três hipóteses do Teorema de Rolle no intervalo dado.

Além disso, precisaremos encontrar todos os valores de c que satisfazem à conclusão desse Teorema.

Então, vamos relembrar o que esse Teorema diz.

se (i) a função for contínua num intervalo fechado [ a , b ] ;

(ii) se ela for derivável no aberto ( a , b ) ;

(iii) se f ( a ) = f ( b ) (ela tiver os mesmos valores nos extremos do intervalo)

então deve existir um número c dentro do intervalo ( a , b ) onde a derivada se anula

f ' c = 0

O que precisamos fazer é verificar que a função dada satisfaz as três hipóteses mencionadas acima e daí tentar encontrar os pontos em que a derivada da função se anula.

Vamos nessa!

Passo 2

Bom, como a função é um polinômio, ela é contínua e derivável em toda parte, de modo que as duas primeiras condições são automaticamente satisfeitas.

Além disso, note que se

f x = x 3 - 3 x 2 + 2 x + 5 ,     [ 0,2 ]

Nos extremos do intervalo as funções serão:

f 0 = 0 3 - 3 ⋅ 0 2 + 2 ⋅ 0 + 5

f ( 0 ) = 5

E

f 2 = 2 3 - 3 ⋅ 2 2 + 2 ⋅ 2 + 5

f 2 = 8 - 12 + 4 + 5 = 5

Então, como

f 0 = f 2

a terceira hipótese também é satisfeita: assim, o Teorema de Rolle é válido!!!

Passo 3

Agora que já sabemos que o teorema é válido, vamos tentar achar os pontos que anulam a derivada. Derivando a função, obtemos

f ' ( x ) = 3 x 2 - 6 x + 2

Tomando f ' ( x ) = 0 :

3 x 2 - 6 x + 2 = 0

Podemos resolver essa equação pela fórmula de Bháskara:

x = - ( - 6 )   ± 36 - 24 6 = 6 ± 12 6 = 6 ± 2 3 6 = 1 ± 3 3

Como 3 / 3   < 1 , as duas respostas estão dentro do intervalo considerado e são consideradas válidas pelo teorema.

Resposta

c = 1 ± 3 3

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