Encontre o máximo e mínimo absoluto da função f no intervalo dado.

f(x) = x - raiz(x, 3), [-1, 4]

Passo 1

E aí, tudo bem?! Nesse problema o enunciado dá pra a gente a seguinte função:

f x = x -   x 3

E precisamos encontrar os valores de máximo e mínimo absoluto de f no intervalo - 1,4 .

Para isso vamos, primeiro calcular a derivada de f ( x ) e iguala-la a zero para encontrar os números críticos. Depois a gente vai usar o método do intervalo fechado que é basicamente calcular f ( x ) nesses pontos e nos pontos extremos, x = - 1 e x = 2   .

O maior valor vai ser nosso máximo absoluto e o menor o mínimo absoluto!

Agora bora colocar a mão na massa!

Passo 2

Primeiramente, necessitamos calcular a derivada de f e iguala-la a zero para encontrar os números críticos:

f x = x -   x 3

Essa derivada é simples, só precisamos usar a regra da potência e ficamos com:

f ' x = 1 - 1 3 x - 2 3

Passo 3

Agora, vamos igualar nossa derivada a zero:

f ' x = 1 - 1 3 x - 2 3 = 0

Vamos começar a manipular:

1 3 x - 2 3 = 1

x - 2 3 = 3

Isso é o mesmo que:

1 x 2 3 = 3

Então:

x 2 3 = 1 3

Invertendo o expoente:

x = ± 1 3 3 3 = ± 1 3 3        

Agora a gente dá uma ajeitadinha pra resposta ficar mais elegante:

x = ± 1 3 3 3 3 = ± 3 9

Passo 4

Achamos os candidatos a pontos críticos, vamos testar o valor deles e os do intervalo:

f x = x -   x 3

Começando com x = - 1 :

f - 1 = - 1 -   - 1 3 = 0  

Agora f ( 0 ) :

f 0 = 0 -   0 3 = 0  

Finalmente ± 3 9 :

f 3 9 = 3 9 -   3 9 3  

A gente poderia simplificar, mas daria um trabalhinho. Como estamos interessados no valor final vamos jogar na calculadora e teremos:

f 3 9 = - 0,3849

Para - 3 9 :

f - 3 9 = - 3 9 -   - 3 9 3 = 0,3849  

E pra acabar:

f 4 = 4 -   4 3 = 2,413

Então temos o máximo bsoluto em f ( 4 ) e o mínimo absoluto em f 3 9 .

Resposta

Máximo absoluto – f 4 = 2,413

Mínimo absoluto -   f + 3 9 = - 0,3849  

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