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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.2 - Ex. 36

Às 14 h da tarde o velocímetro do carro mostra 50 km/h. Às 14 h 10 , ele mostra 65   km/h. Prove que em algum momento entre 14 h e 14 h 10 a aceleração era exatamente de 90 km/h² .

Passo 1

Fala aí, pessoal. Tudo certinho com vocês?

Bom, essa questão diz pra gente que às 14 h da tarde o velocímetro de um carro mostra 50 km/h, e que às 14 h 10 , ele mostra 65   km/h.

E pede pra gente provar que em algum momento entre 14 h e 14 h 10 a aceleração era exatamente de 90 km/h².

Como a aceleração é a derivada da velocidade, podemos usar o Teorema do Valor Médio.

Esse Teorema nos diz que:

Se f ( x ) é continua no intervalo fechado [ a , b ] e é diferençável no intervalo aberto ( a , b ) , então

f ' c = f b - f ( a ) b - a

Assim, usando como queremos que a aceleração seja igual a 90 km/h², basta igualar essa relação a 90.

Vem comigo que te mostro como.

Passo 2

Vamos usar o teorema do valor médio, sendo

f ' c = f b - f ( a ) b - a

E sabemos que às 14 h da tarde o velocímetro de um carro mostra 50 km/h, e que às 14 h 10 , ele mostra 65   km/h.

Então faremos o instante t a = 0 como sendo às 14 h .

E como estamos usando a tempo em horas, faremos t b = 10 m i n para às 14 h 10 , mas passando pra horas teremos t b = 1 6 .

Usamos 1 / 6 porque 10 minutos é 1 / 6 de uma hora.

Assim:

v t a = v 0 = 5 0

v t b = v 1 6 = 65

Portanto:

v ' c = v 1 6 - v 0 1 6 - 0

E substituindo tudo ficamos com:

v ' c = 65 - 50 1 6 = 90 .

Pelo Teorema do Valor Médio, sabemos que há um número c tal que 0 < c < 1 6 com

v ' c = 90

Desde que v ' ( t ) seja a aceleração no tempo t , a aceleração c horas após 2 : 00 P.M. é 90 km/h².

Resposta

Ver o desenvolvimento.

Ver Outros Exercícios desse livro

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