Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 4.2 - Ex. 3
Verifique que a função satisfaz as três hipóteses do Teorema de Rolle no intervalo dado. Então, encontre todos os números que satisfazem à conclusão do Teorema de Rolle.
Passo 1
Olá, meu amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.
Essa é uma questão para testarmos a validade do Teorema de Rolle, que basicamente diz que:
Se
(i) a função for contínua num intervalo fechado
(ii) ela for derivável no aberto
(iii) (ela ter os mesmos valores nos extremos do intervalo)
então deve existir um número dentro do intervalo onde a derivada se anula (.
O que precisamos fazer é verificar que a função dada satisfaz as três hipóteses mencionadas acima e daí tentar encontrar os pontos em que a derivada da função se anula.
Passo 2
Sabemos que a raiz quadrada é uma função contínua em todo o seu domínio, como o intervalo está contido no domínio da raiz quadrada (), temos que a função é contínua no intervalo. Além disso, sabemos também que a raiz quadrada é derivável em todo seu domínio exceto em .
Porém, como só é necessário que a função seja derivável no interior do intervalo (não precisa ser nos extremos), vemos que a segunda hipóteses também é satisfeita.
Resta apenas verificar se a terceira é válida: e . Então, sim, o teorema de Rolle é válido!!!
Passo 3
Agora que já sabemos que o teorema é válido, vamos tentar achar os pontos que anulam a derivada. A derivada da função será
Assim, forçando a derivada a ser zero:
Note que está no intervalo dado e podemos tomá-lo como pedido.