Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 4.2 - Ex. 12
Verifique se a função satisfaz às hipóteses do teorema do valor médio no intervalo dado e ache todos os valores que satisfaçam a conclusão.
Passo 1
Fala aí, tudo certinho com você?
Bom essa questão da pra gente a função:
E pede pra gente verificar se a função satisfaz às hipóteses do teorema do valor médio no intervalo dado e achar todos os valores que satisfaçam a conclusão.
E pra fazer isso vamos relembrar o que diz o teorema do valor médio:
“Sendo f a função que satisfaça às seguintes condições:
é contínua no intervalo fechado de ;
é diferenciável no intervalo aberto de ;
Então há um número no intervalo aberto onde
Bora ver isso acontecendo então.
Passo 2
Bom, com o teorema fresquinho na nossa cabeça, vamos analisar a nossa função. Sendo
- Por ser uma função polinomial, é sempre diferenciável e contínuo, significar que o teorema do valor médio é aplicável
Derivando a nossa função pela regra do expoente em cada termo, ficamos com:
Perfeito.
Passo 3
Agora, temos que encontrar o valor tal que,
Aplicando aos extremos de nosso intervalo, ficamos com:
Usando o valor dado da expressão da derivada, teremos:
com
E prontinho. Achamos!
Note que ambos os valores de estão no intervalo dado, então ambos são aceitos.