Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 4.2 - Ex. 8
Verifique se a função satisfaz às 3 hipóteses do teorema de Rolle no intervalo dado e ache todos os valores que satisfaçam a conclusão.
Passo 1
Opa! Bora pra mais uma questão?! Aqui temos uma função em um intervalo dado:
Temos que verificar se a função satisfaz às 3 hipóteses do teorema de Rolle. Depois disso precisamos achar todos os valores de que satisfaçam a conclusão desse teorema!
Nossa função é
Antes de qualquer coisa. O que diz o teorema de Rolle?!
“Sendo f a função que satisfaça às seguintes condições:
- é contínua no intervalo fechado de
- é diferenciável no intervalo aberto de );
Então há um númerono intervalo aberto onde ”
Passo 2
Vamos verificar cada ponto do Teorema de Rolle.
Manipulando:
Fazemos uma análise rápida vemos que não pode assumir o valor de zero pois teríamos uma indeterminação. Mas a gente não precisa se preocupar com isso, afinal nosso intervalo é .
Outra coisa que podemos observar é que temos uma função polinomial, então ela é contínua e diferenciável no intervalo.
Agora só falta a terceira condição:
Bem, podemos concluir que as condições estão ok! ;)
Passo 3
Agora precisamos olhar pra conclusão do teorema, que diz: “Há um númerono intervalo aberto onde “
O enunciado quer que a gente ache os valores de ! Para isso vamos calcular a derivada da nossa função:
Dessa forma temos:
Prontinho!