Verifique se a função satisfaz às 3 hipóteses do teorema de Rolle no intervalo dado e ache todos os valores que satisfaçam a conclusão.

f(x) = x + 1 / x, [1/2, 2]

Passo 1

Opa! Bora pra mais uma questão?! Aqui temos uma função em um intervalo dado:

f x = x + 1 x ,     1 2 ,   2

Temos que verificar se a função satisfaz às 3 hipóteses do teorema de Rolle. Depois disso precisamos achar todos os valores de x que satisfaçam a conclusão desse teorema!

Nossa função é

Antes de qualquer coisa. O que diz o teorema de Rolle?!

“Sendo f a função que satisfaça às seguintes condições:

  1. f   é contínua no intervalo fechado de [ a ,   b ] ;
  2. f é diferenciável no intervalo aberto de ( a ,   b );
  3. f ( a )   =   f ( b )

Então há um número   c   no intervalo aberto ( a ,   b ) onde f ’ ( c )   =   0

Passo 2

Vamos verificar cada ponto do Teorema de Rolle.

f x = x + 1 x

Manipulando:

f x = x 2 + 1 x

Fazemos uma análise rápida vemos que x não pode assumir o valor de zero pois teríamos uma indeterminação. Mas a gente não precisa se preocupar com isso, afinal nosso intervalo é 1 2 , 2 .

Outra coisa que podemos observar é que temos uma função polinomial, então ela é contínua e diferenciável no intervalo.

Agora só falta a terceira condição:

f ( a )   =   f ( b )

f 1 2   =   f ( 2 )

1 2 + 1 1 2 = 2 + 1 2

1 2 + 2 1 = 2 + 1 2

5 2 = 5 2 = 2,5

Bem, podemos concluir que as condições estão ok! ;)

Passo 3

Agora precisamos olhar pra conclusão do teorema, que diz: “Há um número   c   no intervalo aberto ( a ,   b ) onde f ’ ( c )   =   0

O enunciado quer que a gente ache os valores de c ! Para isso vamos calcular a derivada da nossa função:

f x = x + 1 x

f ' ( c ) = 1 - 1 c 2

f ' x = c 2 - 1 c 2 = 0

c 2 - 1 = 0

Dessa forma temos:

c = ± 1  

Prontinho!

Resposta

c = ± 1

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