Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.2 - Ex. 11
Verifique se a função satisfaz as hipóteses do Teorema do Valor Médio no intervalo dado. Então, encontre todos os números c que satisfaçam a conclusão do Teorema do Valor Médio.
Passo 1
Eaeee, belezinha?? Bom.. o enunciado nos dá a seguinte função e seu intervalo, respectivamente:
Queremos verificar se a função satisfaz as hipóteses do Teorema do Valor Médio no intervalo dado.
Com isso, devemos encontrar os números que satisfaçam a conclusão do Teorema do Valor Médio.
Mas que Teorema é esse?
Seguinte, para o Teorema do Valor Médio uma função deve ser contínua em um intervalo e derivável em .
Sendo que existe um numero em , tal que
Tendo essas informações podemos calcular!!
Passo 2
A nossa função é contínua em [0,2] e derivável em , afinal ela é uma função polinomial sem muitas restrições.
Portanto, pelo teorema do valor médio temos que:
Substituindo os extremos do intervalo na função, temos:
Dessa forma, temos que:
Agora nos resta só derivar a função.
Passo 3
Nossa função é:
Derivando, temos:
Agora, é só substituirmos:
Prontinho!!