Use a desigualdade raiz(3) < 1,8 para provar que:

1,7 < raiz(3) < 1,75

[Sugestão: Tome f(x) = raiz(x), a = 3, e b = 4 no Teorema do Valor Médio]

Passo 1

Inicialmente, o problema nos dá um conjunto de pontos ( a , b ) que delimita o intervalo.

Existe um ponto c ( 3,4 ) tal que:

Aplicando o Teorema de Valor Médio quando f x = x até o ponto c ( 3 ,   4 ) . O teorema diz que:

f ' c = f b - f ( a ) b - a

Aplicando os valores do intervalo:

f ' c = 4 - 3 4 - 3 = 2 - 3

Derivando a nossa função :

f x = x

f ' x = 1 2 x

Vamos trabalhar consideranco x = c :

f ' c = 1 2 c

Igualando os termos, temos:

f ' c = f ' c

2 - 3 = 1 2 c

Quando 3 < c < 4 :

Passo 2

Quando c < 4 :

2 - 3 > 1 2 c

2 - 3 > 1 4

Multiplicando ambos os lados por ( - 1 ):

- 2 + 3 < - 1 4

Somando 2 de ambos os lados da inequação:

3 < - 1 4 + 2

3 < 1,75

Passo 3

Quando c > 3 :

1 2 3 < 1 2 c

O exercício pede que 3 < 1,8

1 2.1,8 > 1 2 3

Como queremos atender a condição que o exercício pede:

1 2.1,8 > 2 - 3

Multiplicando ambos os lados por ( - 1 ):

- 2 + 3 < - 1 3,6

Somando 2 de ambos os lados da inequação:

3 < - 1 3,6 + 2

3 < 1,7222 ≈ 1,7

Logo:

1,7 < 3 < 1,8

Resposta

1,7 < 3 < 1,8

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