Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 6.1 - Ex. 13

Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas e encontre sua área.

y = 12 - x 2 , y = x 2 - 6

Passo 1

Opa, bora resolver esse problema! O enunciado nos dá as curvas:

y = 12 - x 2 , y = x 2 - 6

Temos em mãos duas parábolas e queremos esboçar a região delimitada por essas curvas, depois vamos calcular a área dessa região!

Temos que:

y = 12 - x 2 → c o n c a v i d a d e   p r a   b a i x o

y = x 2 - 6 → c o n c a v i d a d e   p r a   c i m a

Pra achar os pontos de intersecção fazemos:

12 - x 2 = x 2 - 6

2 x 2 - 18 = 0

Dividindo por dois:

x 2 - 9 = 0

x = ± 9 = ± 3

Além disso, pra esboçar o gráfico, vamos calcular as raízes de cada curva:

12 - x 2 = 0

x = ± 12 = 2 3

Agora a outra:

x 2 - 6 = 0

x = ± 6

Agora sim, conseguimos esboçar:

Onde a curva azul é y = 12 - x 2 e a curva vermelha é y = x 2 - 6 .

Passo 2

Agora vamos montar a integral! A área que vamos calcular vai ser dada pela subtração entre a curva vermelha e a curva azul e os limites de integração serão os pontos de intersecção que calculamos acima. Temos então:

A = ∫ a b f x - g x d x

A = ∫ - 3 3 [ ( 12 - x 2 ) - ( x 2 - 6 ) ] d x

Simplificando:

A = ∫ - 3 3 [ ( 12 - x 2 - x 2 + 6 ) ] d x

A = ∫ - 3 3 18 - 2 x 2 d x

Essa integral tem intervalos iguais, portanto é simétrica. Assim, pode ser dividida em duas partes:

A = 2 ∫ 0 3 18 - 2 x 2 d x

A = 2 18 x - 2 x 3 3 0 3

A = 2 18 × 3 - 2 × 3 3 3 - 18 × 0 - 2 × 0 3 3

Então,

A = 2 [ 54 - 18 ]

A = 72

Prontinho!!

Resposta

A = 72

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Ache o centro de massa da lâmina limitada pela parábola 2 y 2 = 18 - 3 x , pelo eixo y , se a densidade superficial de massa em qualquer ponto ( x , y ) for 6 - xk g / m ² ².
Nos exercícios de 7 a 14, ache o centróide da região com os contornos indicados. (7) A parábola y = 4 - x ² ² e o eixo x .
Nos exercícios de 7 a 14, ache o centróide da região com os contornos indicados. (8) A parábola x = 2 y - y ² ² e o eixo y .
Nos exercícios de 7 a 14, ache o centróide da região com os contornos indicados. (9) A parábola y = x ² ² e a reta y = 4 .
Nos exercícios de 7 a 14, ache o centróide da região com os contornos indicados. (10) A parábola y ² = 4 x ² , o eixo y e a reta y = 4 .