Verifique que a função satisfaz as três hipóteses do Teorema de Rolle no intervalo dado. Então, encontre todos os números c que satisfazem à conclusão do Teorema de Rolle.

f(x) = 5 - 12x + 3x^2, [1,3]

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... a questão quer que verifiquemos se a seguinte função satisfaz as três hipóteses do Teorema de Rolle no intervalo dado.

Mas quais hipóteses são essas??? Bom, as três hipóteses são:

  • f é contínua em a , b .
  • f é derivável em ( a . b ) .
  • f a = f ( b )

Depois, temos que encontrar todos os números c   que satisfazem à conclusão do Teorema de Rolle.

Vamos testar então, e depois encontrar um c tal que f ' c = 0 .

😉

Passo 2

Bom, a função f ( x ) é um polinômio, portanto, não apresenta restrições.

Sendo assim, ela é sempre contínua e derivável. E então, é contínua em [1,3] e derivável em ( 1,3 ) . As duas primeiras hipóteses então estão satisfeitas.

Vamos para a última:

f a = f 1 = 5 - 12 1 + 3 1 2 ∴

f a = 5 - 12 + 3 ∴

f a =   - 4

E

f b = f 3 = 5 - 12 3 + 3 3 2 ∴

f 3 = 5 - 36 + 27 ∴

f 3 =   - 4

Então, f a = f ( b ) e a terceira condição também está satisfeita.

Passo 3

Então, pelo teorema, existe c tal que f ' c = 0 , vamos calcular então:

Derivando a função, obtemos:

f ' x =   - 12 + 6 x

Igualando a zero, temos:

- 12 + 6 c = 0 ∴

6 c = 12 ∴

c = 2

Esse é o único valor de c que satisfaz à hipótese do teorema.

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

c = 2

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