Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 5.3 - Ex. 14
Use a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada da função.
Passo 1
E aí, tudo certo por aí? Não precisa se desesperar que vamos resolver essa questão juntos, beleza 😁?
O enunciado tá pedindo pra gente encontrar a derivada de uma função que é dada como sendo uma integral de uma outra função.
Mais explicitamente, temos que encontrar a derivada da função
usando a Parte do Teorema Fundamental do Cálculo.
Esse Teorema diz que sempre que uma função é obtida integrando uma função , então a derivada da função é a função
Precisamente, o teorema fundamental do cálculo fala que se
então
Perceba que isso não é exatamente o que temos na função , pois temos uma diferença no limite superior de integração. No caso do teorema, o limite superior é , enquanto no caso da função , ele é
Então, vamos ver como resolvermos essa questão 👀?
Passo 2
Definindo a função
então é molezinha calcular a derivada de usando o teorema fundamental do cálculo, né? Temos que
Guarda essa informação que vamos precisar dela!
Passo 3
Agora vamos calcular a derivada da função conforme pedido no enunciado!
Pensa o seguinte: Devido a definição da função dada no passo anterior, então, é dada por
Como sabemos a derivada da função (passo anterior) e vamos encontrar a derivada de , podemos usar a Regra da Cadeia para calcular a derivada de
De fato, a Regra da Cadeia diz que
Então vale que
Para a derivada de , vale a pena lembrar da Regra da Potência também:
Agora, como
e
então temos que
Usando que , simplificamos para
Resposta
A derivada da função
é