Use a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada da função.

h ( x ) = ∫ 1 x z 2 z 4 + 1 d z

Passo 1

E aí, tudo certo por aí? Não precisa se desesperar que vamos resolver essa questão juntos, beleza 😁?

O enunciado tá pedindo pra gente encontrar a derivada de uma função h x   que é dada como sendo uma integral de uma outra função.

Mais explicitamente, temos que encontrar a derivada da função

h x = ∫ 1 x z 2 z 4 + 1 d z ,

usando a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo.

Esse Teorema diz que sempre que uma função h é obtida integrando uma função f , então a derivada da função h é a função f !

Precisamente, o teorema fundamental do cálculo fala que se

h x =   ∫ a x f t d t ,

então h ' x = f x .

Perceba que isso não é exatamente o que temos na função h , pois temos uma diferença no limite superior de integração. No caso do teorema, o limite superior é x , enquanto no caso da função h , ele é x .

Então, vamos ver como resolvermos essa questão 👀?

Passo 2

Definindo a função

f x =   ∫ 1 x z 2 z 4 + 1 d z ,  

então é molezinha calcular a derivada de f usando o teorema fundamental do cálculo, né? Temos que

f ' x = x 2 x 4 + 1 .

Guarda essa informação que vamos precisar dela!

Passo 3

Agora vamos calcular a derivada da função h conforme pedido no enunciado!

Pensa o seguinte: Devido a definição da função f dada no passo anterior, então f ( x ) , é dada por

f x =   ∫ 1 x z 2 z 4 + 1 d z = h x .

Como sabemos a derivada da função f (passo anterior) e vamos encontrar a derivada de x , podemos usar a Regra da Cadeia para calcular a derivada de h .

De fato, a Regra da Cadeia diz que

f ∘ g ' x = f ' g x g ' x .

Então vale que

h ' x = f ' x x ' .

Para a derivada de x , vale a pena lembrar da Regra da Potência também:

x n ' = n x n - 1 .

Agora, como

f ' x = x 2 x 4 + 1

e

x ' = x 1 2 ' = 1 2 x - 1 2 ,

então temos que

h ' x = ( x ) 2 x 4 + 1 ⋅ 1 2 x .

Usando que x 4 = x 2 , simplificamos para

h ' x = x 2 x 2 + 1 .

Resposta

A derivada da função

h x = ∫ 1 x z 2 z 4 + 1 d z ,

é

h ' x = x 2 x 2 + 1 .

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