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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.Revisão - Ex. 35

Verifique se as hipóteses do teorema do valor médio estão satisfeitas para a função dada no intervalo indicado. Então, ache um valor adequado de c que satisfaça as conclusões do teorema do valor médio. Faça um esboço do gráfico de f no intervalo e utilize-o para dar a interpretação geométrica desse teorema.

f x =   3 - x ; [ - 6 ,   - 1 ]

Passo 1

Como em f apresenta-se uma raiz de ordem par, é preciso garantir que o interior desta seja sempre não-negativa. Assim:

3 - x ≥ 0 ⇒

3 ≥ x ⇒

x ≤ 3

Note que o intervalo [ - 6 ,   - 1 ] satisfaz a condição de x ≤ 3 . Temos então que f é contínua no intervalo [ - 6 ,   - 1 ] .

Passo 2

Pelas regras de derivação temos:

f ' x = 1 2 3 - x - 1 2 - 1 ⇒

f ' x = - 1 2 3 - x - 1 2 ⇒

f ' x = - 1 2 3 - x 1 2 ⇒

f ' x = - 1 2 3 - x

Note que f ' não existe para x = 3 . Como 3 ∉ - 6 ,   - 1 , temos que f ' existe para todo x neste intervalo. Logo f é derivável em ( - 6 ,   - 1 ) .

Passo 3

Logo, pelo teorema do valor médio, existe c ∈ ( - 6 ,   - 1 ) de forma que:

f ' c = f - 1 - f - 6 - 1 - - 6 ⇒

f ' c = 3 - ( - 1 ) - 3 - ( - 6 ) - 1 + 6 ⇒

f ' c = 4 - 9 - 1 + 6 ⇒

f ' c = 2 - 3 - 1 + 6 ⇒

f ' c = - 1 5

Como f ' c = - 1 2 3 - c temos:

- 1 2 3 - c = - 1 5 ⇒

2 3 - c = 5 ⇒

  2 3 - c 2 = 5 2 ⇒

4 ( 3 - c ) = 25 ⇒

12 - 4 c = 25 ⇒

12 - 25 = 4 c ⇒

4 c = - 13 ⇒

c = - 13 4

Assim, a reta que passa por - 13 4 ,   f - 13 4 = - 13 4 ,   5 2 tem inclinação - 1 5 e sua equação será:

y - 5 2 = - 1 5 x - - 13 4 ⇒

y - 5 2 = - 1 5 x + 13 4 ⇒

y - 5 2 = - x 5 - 13 20 ⇒

y = - x 5 - 13 20 + 5 2 ⇒

y = - x 5 + - 13 + 50 20 ⇒

y = - x 5 + 37 20

Resposta

Portanto, o gráfico de f x = 3 - x no intervalo [ - 6 ,   - 1 ] e da reta tangente a f no ponto - 13 4 ,   5 2 , têm esboço:

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