Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.8 - Ex. 68
Como vimos na seção 3.8, uma substância radioativa decai exponencialmente: a massa no tempo é , onde é a massa inicial e , uma constante negativa. A vida média de um átomo na substância é
Para o isótopo radioativo de carbono-14, usado para datação, o valor de é . Calcule a vida média de um átomo de carbono-14.
Passo 1
Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente encontrar a vida média de um átomo de carbono-14, e ele já nos deu a definição dessa vida média através da integral:
Então, basicamente, o que a questão pede é que encontremos que é dado pela integral acima. Note que se trata de uma integral imprópria, então vamos precisar calcular a integral através do limite:
Mas antes, para resolver essa integral, vamos usar a integração por partes:
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar definindo as variáveis para a nossa integração por partes. Pra isso, vamos chamar e . Assim, e . E substituindo, teremos:
Integrando do lado direito da equação:
E aplicando os limites de integração:
Passo 3
Agora vamos avaliar o nosso limite. O termo não depende de , então, precisamos apenas ver o que acontece com o termo quando .
Vamos tentar calcular esse limite:
Como , quando , , de modo que . Temos então uma indeterminação do tipo e podemos aplicar a regra de L’Hospital. Assim, derivando numerador e denominador separadamente, temos:
E aplicando o limite, encontramos:
Passo 4
Dessa forma, substituindo os resultados dos passos e na nossa integral, teremos:
Logo,
E sabendo que o valor de é , temos:
Valeu, galera! Até a próxima! 😉