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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.4 - Ex. 40

Faça uma substituição para expressar o integrando como uma função racional e então calcule a integral.

∫ 1 2 x + 3 + x d x

Passo 1

A questão pede para fazermos uma substituição racionalizante para daí usar frações parciais e calcular a integral. Façamos então u = x + 3 . Assim, u 2 = x + 3 ⇒ d x = 2 u   d u . Além disso, x = u 2 - 3 . Desta forma,

∫ 1 2 x + 3 + x d x = ∫ 1 2 u + u 2 - 3 2 u   d u = 2 ∫ u u 2 + 2 u - 3 d u

Essa nova integral é calculada por frações parciais!

Podemos fatorar o denominador: u 2 + 2 u - 3 = ( u - 1 ) ( u + 3 ) . Assim,

u u 2 + 2 u - 3 = A u - 1 + B u + 3 = A u + 3 A + B u - B u 2 + 2 u - 3

Portanto, temos que 3 A - B = 0 ⇒ B = 3 A . Além disso, A + B = 1 ⇒ 4 A = 1 ⇒ A = 1 / 4 . Assim, B = 3 / 4 . Desta forma,

2 ∫ u u 2 + 2 u - 3 d u = 1 2 ∫ 1 u - 1 + 3 u + 3 d u

Passo 2

Calculando a integral,

1 2 ∫ 1 u - 1 + 3 u + 3 d u = 1 2 ln ⁡ | u - 1 | + 3 2 ln ⁡ | u + 3 | + C

Voltando para a variável original com u = x + 3 :

∫ 1 2 x + 3 + x d x = 1 2 ln ⁡ | x + 3 - 1 | + 3 2 ln ⁡ | x + 3 + 3 | + C

Resposta

1 2 ln ⁡ | x + 3 - 1 | + 3 2 ln ⁡ | x + 3 + 3 | + C

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