Você planeja estimar π / 2 com cinco casas decimais usando o método de Newton para resolver a equação cos x = 0 . O valor inicial faz diferença? Justifique sua resposta

Passo 1

Utilizando o método de Newton para aproximação de raízes da função f x = cos ⁡ x   , ou seja, queremos calcular cos ⁡ x = 0 e encontrarmos um valor aproximadamente igual a π 2 com uma precisão de 5 casas decimais. A pergunta a ser respondida é: o ponto inicial x 0 faz diferença?

Passo 2

De antemão já afirmo que sim, mas precisamos provar que isso é verdade. Precisamos lembrar que a função cos ⁡ x não foi definida em nenhum intervalo nesse problema, assim, teremos infinitos ângulos com os quais cos ⁡ x = 0 devido à sua periodicidade. Então, tomemos um valor inicial distante de π 2 como, por exemplo, x 0 = - 0.5 aplicando a fórmula de newton

x n + 1 = x n - f ( x n ) f ' ( x n )

Poderemos perceber que nossa raiz se aproximara de x = - π / 2 e não do valor que desejamos. Ou seja, o valor inicial é importante pois se pegar um valor distante de x = π 2 nossas aproximações irão ficar mais próximas de outros valores para os quais cos ⁡ x = 0 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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