Sejam f(x) e g(x) as funções deriváveis traçadas aqui. O ponto c é onde a distância vertical entre as curvas é máxima. Há algo especial sobre as tangentes às duas curvas em c ? Justifique sua resposta.

Passo 1

Nos foi dado que o ponto c é um ponto onde a distância na vertical entre as curvas f x   e   g ( x ) é máxima. Desejamos saber se há algo de especial com relação as tangentes, que é a interpretação geométrica da derivada, nesse ponto.

Passo 2

Chamemos a distância entra as duas curvas de D ( x ) . Assim,

D x = f x - g ( x )

Sabemos que a derivada da soma/subtração é a soma/subtração das derivadas. Dessa forma podemos fazer

D ' x = f ' x - g ' ( x )

O máximo valor de D ( x ) ocorrerá exatamente no ponto c como foi enunciado na questão, dessa forma c é também um ponto crítico de D ( x ) , então,

D ' c = 0 → f ' c - g ' c = 0

→ f ' c = g ' c

Como a derivada geometricamente representa a inclinação da reta tangente em um ponto, no nosso caso, para o ponto c teremos que as tangentes das duas curvas serão paralelas, pois apresentam mesmo coeficiente angular.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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