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Enunciado

Cálculo Numérico - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.10 - Ex. 9

Nos exercícios de 5 até 10, use o método de Newton para encontrar o valor aproximado da raiz indicada com erro menor que um milésimo.

2 x 4 - 2 x 3 + x 2 + 3 x - 4 = 0 ; a raiz negativa

Passo 1

Para iniciar a resolução da questão, o primeiro passo é lembrar que o método busca estimar as raízes de uma equação polinomial, podendo ser tão preciso quanto desejarmos, dependendo apenas da quantidade de repetições do processo sobre uma equação. A análise é feita a partir da seguinte relação:

x n + 1 = x n - f x n f ' x n

Com n um número natural, a raiz x n tem precisão de k casas decimais se x n + 1 = x n até a k - é s i m a casa decimal. A função f ( x ) , por sua vez, é identicamente nula, tratada como a função polinomial que representa o lado esquerdo da equação original.

Passo 2

Devemos calcular a função f ' ( x ) , que aparece na relação proposta por Newton. Derivando normalmente:

f ' x = 8 x 3 - 6 x 2 + 2 x + 3

Passo 3

Para escolher o valor de x 1 , perceba que f - 2 = 42 > 0 e f - 1 = - 2 < 0 . Temos uma raiz negativa no intervalo - 2 < x < - 1 . Portanto, vamos usar o valor x 1 = 1 para iniciar o método. Logo, calculemos os valores seguintes até atingir a precisão desejada:

- x 2 = x 1 - f x 1 f ' x 1

x 2 = - 1 - - 2 - 13

x 2 = - 1,15835

- x 3 = x 2 - f x 2 f ' x 2  

x 3 = - 1,15835 - 0 , 4072 - 19 , 5853  

x 3 = - 1 , 12897

- x 4 = x 3 - f x 3 f ' x 3  

x 4 = - 1,12897 - 0 , 0146 - 1 8,4169  

x 4 = - 1,128 1 7

- x 5 = x 4 - f x 4 f ' x 4  

x 5 = - 1,128 1 7 - 0,000 013 - 18,3803  

x 5 = - 1,12817

Resposta

Ou seja, a raiz negativa da equação   2 x 4 - 2 x 3 + x 2 + 3 x - 4 = 0 , com aproximação de quatro casas decimais, é:

x = - 1,1282

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