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Enunciado

Cálculo Numérico - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.10 - Ex. 10

Nos exercícios de 5 até 10, use o método de Newton para encontrar o valor aproximado da raiz indicada com erro menor que um milésimo.

x 4 + x 3 - 3 x 2 - x - 4 = 0 ; a raiz positiva

Passo 1

Para iniciar a resolução da questão, o primeiro passo é lembrar que o método busca estimar as raízes de uma equação polinomial, podendo ser tão preciso quanto desejarmos, dependendo apenas da quantidade de repetições do processo sobre uma equação. A análise é feita a partir da seguinte relação:

x n + 1 = x n - f x n f ' x n

Com n um número natural, a raiz x n tem precisão de k casas decimais se x n + 1 = x n até a k - é s i m a casa decimal. A função f ( x ) , por sua vez, é identicamente nula, tratada como a função polinomial que representa o lado esquerdo da equação original.

Passo 2

Devemos calcular a função f ' ( x ) , que aparece na relação proposta por Newton. Derivando normalmente:

f ' x = 4 x 3 + 3 x 2 - 6 x - 1

Passo 3

Para escolher o valor de x 1 , perceba que f 2 = 6 > 0 e f 1 = - 6 < 0 . Temos uma raiz positiva no intervalo 1 < x < 2 . Portanto, vamos usar o valor x 1 = 1 , 5 para iniciar o método. Logo, calculemos os valores seguintes até atingir a precisão desejada:

- x 2 = x 1 - f x 1 f ' x 1

x 2 = 1,5 - - 3,8 10,25

x 2 = 1,8720

- x 3 = x 2 - f x 2 f ' x 2  

x 3 = 1 , 8720 - 2,45 24,5197  

x 3 = 1 , 7719

- x 4 = x 3 - f x 3 f ' x 3  

x 4 = 1,7719 - 0 , 228 20,0376  

x 4 = 1,7604

- x 5 = x 4 - f x 4 f ' x 4  

x 5 = 1,7604 - 0,00 23 19,5584  

x 5 = 1,7603

- x 6 = x 5 - f x 5 f ' x 5  

x 6 = 1,760 3 - 0,0000 004 19.5525  

x 6 = 1,7603

Resposta

Ou seja, a raiz positiva da equação   x 4 + x 3 - 3 x 2 - x - 4 = 0 , com aproximação de quatro casas decimais, é:

x = 1,7603

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Use o método de Newton para determinar a raiz quarta negativa de 2 resolvendo a equação x 4-2=0 . Comece com x 0=-1 e calcule x 2 .
Use o método de Newton para estimar as duas raízes da função f ( x )=x 4+x-3 . Comece com x 0=- 1 para a raiz à esquerda e depois com x 0=1 para a raiz à direita. Então, determine x 2 em cada caso.
Demonstre que, se h0 , aplicando o método de Newton para f x = x ,x ≥ 0 - x ,x0 que leva a x 1=-h se x 0=h e a x 1=h se x 0=-h . Desenhe uma figura que mostre o que ocorre.
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Use o método de Newton para estimar as duas raízes da função f ( x )=2 x-x 2+1 . Comece com x 0=0 para a raiz à esquerda e depois com x 0=2 para a raiz à direita. Então, determine x 2 em cada caso