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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 3.2 - Ex. 20

Se o wronskiano de f e g é t c o s t - s e n t e se u = f + 3 g , v = f - g , encontre o wronskiano de u e v .

Passo 1

Bom, a informação que o enunciado deu para a gente é que o wronskiano de f e g é:

W f ,   g = d e t f g f ' g ' = f g ' - f ' g = t c o s t - s e n t

E diz para a gente as funções u = f + 3 g e v = f - g , e pede para achar o wronskiano delas.

Passo 2

O wronskiano delas vai ser:

W u ,   v = d e t u v u ' v ' = d e t f + 3 g f - g f ' + 3 g ' f ' - g '

Resolvendo o determinante, a gente fica com:

W u ,   v = f + 3 g f ' - g ' - f - g ( f ' + 3 g ' )

Abrindo os produtos:

W u ,   v = f f ' - f g ' + 3 g f ' - 3 g g ' - f f ' - 3 f g ' + g f ' + 3 g g '

Cortando os termos iguais:

W u , v = 4 g f ' - 4 f g '

Colocando o 4 em evidência:

W u , v = - 4 ( f g ' - f ' g )

Passo 3

E como sabemos o wronskiano de f e g , basta substituirmos na equação do ultimo passo para encontrarmos o wronskiano de u e v :

W u , v = - 4 t c o s t - s e n t

Resposta

W u , v = - 4 t c o s t - s e n t

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