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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 4.1 - Ex. 30

  1. Mostre graficamente que f 1 x = x 2   e   f 2 x = x | x | são linearmente independentes em - ∞ ,   ∞ .
  2. Mostre que W f 1 x ,   f 2 x = 0 para todo número real.

Passo 1

E aí, tudo bem?

  1. Vamos esboçar os gráficos das funções:

    2. f 1 x = x 2 :

    E f 2 x = x | x | :

    Podemos ver que não tem como essas duas funções serem múltiplas, daí a gente vê que elas são linearmente independentes!

    Passo 2

  2. Agora vamos ver que:

W f 1 x ,   f 2 x = 0

Vamos calcular o Wronskiano então. Primeiro para x ≥ 0 :

W = x 2 x 2 2 x 2 x

= 2 x 3 - 2 x 3 = 0

E agora para x < 0 :

W = x 2 - x 2 2 x - 2 x

W = - 2 x 3 + 2 x 3 = 0

Assim, provamos que W = 0 para todo número real 😉

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Verifique se y 1 t = 1 e y 2 t = t 1 / 2 são soluções da equação diferencial y y ' ' + y ' 2 = 0 para t0 . Depois mostre que c 1 + c 2 t 1 / 2 não é, em geral, solução dessa equação. explique por que
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