Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 3.2 - Ex. 23
Em cada um dos problemas 22 e 23, encontre o conjunto fundamental de soluções especificado pelo Teorema 3.2.5 para a equação diferencial e o ponto inicial dados.
23. , .
Passo 1
Vamos primeiro encontrar a solução geral da equação dada pelo enunciado, a solução é do tipo:
Substituindo ela e suas derivadas na equação a gente fica com:
Tirando como fator comum, e passando para o outro lado:
Passo 2
Agora resolvemos a equação usando a fórmula de Bhaskara:
Como as raízes são diferentes, a solução geral vai ser:
Passo 3
Precisamos verificar se a solução forma um conjunto fundamental, para podermos calcular as soluções fundamentais, para isso calculamos o wronskiano das duas soluções:
Resolvendo o determinante:
Como então as funções formam um conjunto
Passo 4
Substituindo a condição inicial dada na questão e usando o teorema 3.2.5, teremos duas soluções e que satisfazem as condições iniciais e serão as soluções fundamentais que estamos procurando:
Lembrando que os e os para e e suas derivadas vêm do teorema que usamos.
Passo 5
As constantes vão ser, para
E para :
As soluções fundamentais então vão ser:
E