Operações com Conjuntos

Ver Todos os Exercícios

Teoria

Fala aí! Você chegou no Responde Aí! E vamos bater um papo sobre Operações com Conjuntos.

Quais São as Operações com Conjuntos?

Existem três operações básicas com conjuntos:

Operações com conjuntos: Interseção, União, Diferença
Operações com conjuntos: Interseção, União, Diferença

  1. Interseção: Nessa operação verificamos os elementos iguais nos dois conjuntos;
  2. União: Consiste em unir todos os elementos dos conjuntos;
  3. Diferença: Aqui, removemos os pontos de interseção.

Quando estivermos lidando com operações com conjuntos, vamos utilizar o Diagrama de Venn! Que é, nada mais nada menos, do que uma maneira de organizar os conjuntos utilizando circunferências!

Interseção de conjuntos

Na interseção de conjuntos olhamos os valores que aparecem, ao mesmo tempo, no conjunto e no conjunto .

Por exemplo que eu tenho um conjunto que contém os múltiplos de , e o conjunto que contém os múltiplos de

Conjuntos A e B
Conjuntos A e B

Agora imagina que eu quero um conjunto que tenha os números que são múltiplos de e . Ou seja, vamos fazer uma INTERSEÇÃO entre esses dois conjuntos.

Normalmente na construção de um conjunto, quando falamos de E, estamos falando de interseção. A notação é a seguinte:

Interseção dos conjuntos
Interseção dos conjuntos

A região pintada representa o conjunto .

📢 Clique para ver mais:

União de conjuntos

Para efetuar a união de conjuntos é só considerar todos os elementos existentes em e em . Só tem um detalhe, se tiverem elementos repetidos em A e B, então no conjunto união eles devem aparecer só uma vez!

Vamos voltar nos conjuntos e que vimos lá em cima:

Conjuntos A e B
Conjuntos A e B

A gente tem os conjuntos com múltiplos de e o conjunto com os múltiplos de . E como a gente poderia fazer um conjunto que tivesse todos os múltiplos de ou de ?

União dos conjuntos A com B
União dos conjuntos A com B

Tudo o que precisamos fazer é juntar os dois conjuntos! Normalmente na construção de um conjunto, quando falamos de OU, estamos falando de união.

Diferença de conjuntos

A diferença dos conjuntos é uma operação complementar à interseção!

Então é muito simples, por exemplo, se eu quiser um conjunto que tenha os múltiplos de que não sejam múltiplos de , fazemos:

Diferença dos conjuntos A e B
Diferença dos conjuntos A e B

Normalmente na construção de conjuntos, quando temos RESTRIÇÃO, temos uma diferença de conjuntos. A diferença também pode ser escrita com uma barra:

E agora é hora de fazer uns exercícios 👇

União de conjuntos

Diferença de conjuntos

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Sejam dados os conjuntos X = { 0 } , Y = { 0 ,   1 } e Z = { 0 ,   1 } . Determine se são verdadeiras ou falsas as afirmações abaixo:

a) X ∈ Z

b) X ⊂ Z

c) X ∩ Z ≠ ∅

d) X ∩ Y ≠ ∅

e) Y ⊂ Z

Passo 1

Bom, vamos começar pelo item a). Então, dá uma olhada na seguinte afirmação:

X ∈ Z

Beleza, mas quem é X ?

X é um conjunto que possui como único elemento o número 0, ou seja, X = { 0 } . Logo, queremos saber se { 0 } ∈ Z .

Bom, em Z , temos o elemento { 0 } dentro dele. Então, simmm:

X = 0 ∈ Z

Logo, o item a) é verdadeiro.

Uma observação: seria falso se fosse 0 ∈ Z . Pois o elemento 0 não está em Z , beleza?

Lembre-se: a nomenclatura “pertence” refere-se apenas a elementos.

Passo 2

Vamos agora para o item b):

X ⊂ Z

Vamos lá: podemos dizer que X ⊂ Z se para cada elemento dentro do X , esse elemento também está no Z . Ou seja, vamos olhar para cada elemento de X e ver se ele também está em Z .

No caso, o único elemento de X é o 0 , certo?? E ele está em Z ?? Nãããoo! Como já até vimos na observação do passo anterior!

Quem está em Z é o elemento { 0 } , não o 0 , beleza??

Logo, a afirmação é falsa.

Lembre-se: a nomenclatura “está contido” refere-se apenas a conjuntos.

Passo 3

Show de bola! Vamos para o item c):

X ∩ Z ≠ ∅

Essa afirmação está dizendo que existem elementos comuns nos conjuntos X e Z , sendo assim a interseção desses dois conjuntos não gera um conjunto vazio.

SUPER MENTIRA!

Uma vez que não existem elementos comuns nos conjuntos X e Z .

Não se confunde, hein!? X possui o elemento 0, já Z possui um subconjuntos que tem como único elemento o número 0.

Passo 4

E o item d), é verdadeiro?

X ∩ Y ≠ ∅

Bem, ele nos diz que existem elementos comuns nos conjuntos X e Y , sendo assim a interseção desses dois conjuntos não gera um conjunto vazio.

VERDADE VERDADEIRA!

Já que os dois conjuntos possuem o elemento 0, logo o resultado desse interseção é um conjunto com um único elemento, que é 0.

Passo 5

Por fim, temos a afirmação e):

Y ⊂ Z

O conjunto Y está contido em Z ?

Vish! Super falso...

Isso porque precisaríamos que todo elemento de Y estivesse em Z também! E, de cara, isso não acontece, pois 0 ∈ Y , mas 0 não pertence a Z . Beleza??

Resposta

Portanto, temos aqui o nosso gabarito lindo:

a) V

b) F

c) F

d) V

e) F

Exercício Resolvido #2

Sejam x e y números tais que os conjuntos { 0 ,   7 ,   1 } e { x ,   y ,   1 } são iguais. Então podemos afirmar que:

a   x = 0 ,   y = 5

b   x + y = 7

c   x = 0 ,   y = 1

d   x + 2 y = 7

e   x = y

Passo 1

Cara, para dois conjuntos serem iguais, é necessário que eles tenham exatamente OS MESMOS elementos. Olha o nosso conjunto “incógnita” (vou chamar assim esse bonito):

x , y , 1

O único elemento que ele tem em comum com o conjunto dado é o 1 .

Então, a gente precisa que exista um 0 e um 7 ali no x ou y . Mas como a gente sabe quem é 0 e quem é 7 ? Seria x = 0 e y = 7 ? Ou talvez o contrário? Nunca saberemos hahaha

Passo 2

Vamos olhar pro conjunto dado:

0 ,   7 ,   1

E o nosso:

x ,   y ,   1

Lembrando que a ordem num conjunto não altera em nada os elementos. O conjunto 1 ,   2 é igual ao conjunto { 2 ,   1 } .

Beleza, acendeu uma luz aqui! Eu não posso afirmar nada, mas sei que a soma de todos os termos tem que ser igual, então:

0 + 7 + 1 = x + y + 1

Isso nos diz que:

x + y = 7

E faz sentido né? Se você olhar pras opções, vai ver que elas não fazem sentido algum.

Passo 3

Começando pela letra ( a )   x = 0 ,   y = 5

Isso é falso, pois se y = 5 , os conjuntos não seriam iguais.

c   x = 0 ,   y = 1

Isso também é falso, pois se y = 1 , os conjuntos não seriam iguais.

d   x + 2 y = 7

Isso é falso, pois a relação correta foi a que encontramos.

e   x = y

Isso também é falso, pois suponha que x = y = 1 , os conjuntos não seriam iguais!

Resposta

L e t r a   ( b )

Exercício Resolvido #3

No diagrama de Venn-Euler abaixo, cada região foi denominada com um número entre parênteses indicar as regiões que determinam:

a   A ∩ B

b   A ∪ B

c   A - B

d   A C

e   B C

f   A ∪ B C

g   A ∩ B C

Passo 1

Amigx, se prepara porque você vai ver muito essa figura aqui no exercício hahaha BORA LÁ!

a

Vamos dar uma olhada no que ele pede:

A ∩ B

Ou seja, a área comum do diagrama entre A e B , look at this:

Concorda comigo que é área de número 1 ? É a parte que pertence tanto ao conjunto A quanto ao B , AO MESMO TEMPO.

Passo 2

b

Vamos dar uma olhada no que ele pede:

A ∪ B

Ou seja, a área toda do diagrama que representa o conjunto A e o B unidos, take a look:

Concorda comigo que são as áreas de números 1 ,   2   e   3 ? São as partes que pertencem ao conjunto A , ou ao B ou aos dois.

Passo 3

c

Vamos dar uma olhada no que ele pede:

A - B

Ou seja, a área toda do diagrama que representa o conjunto A e aí a gente tira tudo que é do conjunto B também, take a look:

Concorda comigo que é a área de número 2 ? É parte que pertence somente ao conjunto A , sem nada do que tinha em comum com B . Basicamente, é você tirar a interseção dos dois, que na figura era o número 1 .

Passo 4

d

Vamos dar uma olhada no que ele pede:

A C

Já que estamos tratando de complementar, vale dizer que o complementar de um conjunto é tudo aquilo que NÃO é o próprio conjunto. Na imagem, tenta ver quem seria o complementar de A .

O que temos que pegar aqui são todas as áreas que NÃO são do conjunto A , que no caso são as áreas de números 3 e 4 .

Passo 5

e

Vamos dar uma olhada no que ele pede:

B C

Já que estamos tratando de complementar, vale dizer que o complementar de um conjunto é tudo aquilo que NÃO é o próprio conjunto. Na imagem, tenta ver quem seria o complementar de B .

O que temos que pegar aqui são todas as áreas que NÃO são do conjunto B , que no caso são as áreas de números 2 e 4

Passo 6

f

Vamos dar uma olhada no que ele pede:

( A ∪ B ) C

Agora que você já está cansado de ver o complementar, decidi dar uma esquentadinha. Bora tentar fazer esse? Faremos de duas formas. Primeiro, vamos resolver de dentro para fora, vamos ver quais são as áreas da união desses conjuntos:

São as áreas 1 ,   2   e   3 . Agora vamos tomar o complementar delas, ou seja, vamos pegar a área que NÃO seja ela, ok? Nesse caso é a área 4 .

Agora faremos de outra forma, usando a propriedade do complementar:

( A ∪ B ) C = A C ∩ B C

Bom, já vimos que os números que representam o complementar de A são 3   e   4 e os números que representam o complementar de B são 2   e   4 .

O número que aparece nos dois é aquele que representa a área de interseção dos complementares. No caso, o número 4 .

Passo 7

g

Vamos dar uma olhada no que ele pede:

( A ∩ B ) C

Agora que você já está cansado de ver o complementar, decidi dar uma esquentadinha. Bora tentar fazer esse? Faremos de duas formas. Primeiro, vamos resolver de dentro para fora, vamos ver quais são as áreas da interseção desses conjuntos:

É a área 1 . Agora vamos tomar o complementar dela, ou seja, vamos pegar a área que NÃO seja ela, ok? Nesse caso é a área representada pelos números 2 ,   3   e   4 .

Agora faremos de outra forma, usando a propriedade do complementar:

( A ∩ B ) C = A C ∪ B C

Bom, já vimos que os números que representam o complementar de A são 3   e   4 e os números que representam o complementar de B são 2   e   4 .

Se unirmos todos esses caras ficamos com 2 ,   3   e   4 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Exercício Resolvido #4

Considere as seguintes afirmações sobre o conjunto U = { 0 ,   1 ,   2 ,   3 ,   4 ,   5 ,   6 ,   7 ,   8 ,   9 } :

I .     ∅ ∈ U ,   n U = 10

I I .     ∅ ⊂ U ,   n U = 10

I I I .     5 ∈ U ,   { 5 } ⊂ U

I V .     0 ,   1 ,   2 ,   5 ∩ 5 = 5

Pode-se dizer que é(são) verdadeira(s):

a   A p e n a s   I   e   I I I

b   A p e n a s   I I   e   I I I

c   A p e n a s   I I   e   I V

d   A p e n a s   I V

e   T o d a s   a s   a f i r m a ç õ e s

Passo 1

Vamos começar analisando as proposições desde o começo:

I .

Essa afirmação diz que:

∅ ∈ U ,   n U = 10

Lembrando que n ( U ) é a quantidade de elementos que existem em U .

Nesse ponto está correto pois U tem realmente 10 elementos.

Agora temos uma casca de banana, cuidado pra não pisar! Quando usamos o símbolo , estamos falando de um ELEMENTO pertencer ao conjunto.

O símbolo é o símbolo do conjunto vazio, que também pode ser substituído por {   } . Perceba que ele não é um elemento do conjunto U , logo, a afirmação I é FALSA.

Passo 2

I I .

Essa afirmação diz que:

∅ ⊂ U ,   n U = 10

Lembrando que n ( U ) é a quantidade de elementos que existem em U .

Nesse ponto está correto pois U tem realmente 10 elementos.

Quando usamos o símbolo , estamos falando de um conjunto ser um subconjunto de algum outro conjunto.

O símbolo é o símbolo do conjunto vazio, que também pode ser substituído por {   } . Amigx, lembre-se de que o conjunto vazio é subconjunto de TODO conjunto! Logo, a afirmação I I é VERDADEIRA.

Passo 3

I I I .

Essa afirmação diz que:

5 ∈ U ,   { 5 } ⊂ U

Note que 5 realmente é um elemento de U .

Além disso, { 5 } é um subconjunto de U , realmente. Pensa assim: ele é um conjunto pequenininho que tem um elemento que está em outro conjunto também!

Logo, essa afirmação I I I é VERDADEIRA.

Passo 4

I V .

Dá uma olhada no que ela diz:

0 ,   1 ,   2 ,   5 ∩ 5 = 5

Isso é uma casca de bananaaaaaa! Fique atento! Dá muita vontade de dizer que está certo, né? Mas não está!!!

Quando fazemos a interseção entre dois conjuntos, o resultado é um CONJUNTO!!! O que temos ali é apenas um número, portanto, a afirmação I V é FALSA.

Resposta

L e t r a   ( b )

Exercício Resolvido #5

Sejam  A ,   B   e   C  conjuntos de números inteiros, tais que A  tem 8 elementos, B tem 4 elementos, C tem 7 elementos e A ∪ B ∪ C  tem 16 elementos. Então, o número máximo de elementos que o conjunto D = A ∩ B ∪ ( B ∩ C ) pode ter é igual a:

a   1

b   2

c   3

d   4

Passo 1

Bom, queremos n ( D ) né? Mas primeiro, vamos trabalhar com as informações que foram dadas:

n A ∪ B ∪ C = 16

n A = 8

n B = 4

n C = 7

Passo 2

Mas existe uma relação, que é a seguinte:

n A ∪ B ∪ C = n A + n B + n C - n A ∩ B - n A ∩ C - n B ∩ C + n ( A ∩ B ∩ C )

E olha só o que o problema nos forneceu! Vamos substituir:

16 = 8 + 4 + 7 - n A ∩ B - n A ∩ C - n B ∩ C + n A ∩ B ∩ C

- 3 = - n A ∩ B - n A ∩ C - n B ∩ C + n A ∩ B ∩ C

n A ∩ B + n A ∩ C + n B ∩ C - n A ∩ B ∩ C = 3

Vamos guardar isso por enquanto, ok? Guarda aí!

Passo 3

Bora atacar o problema por outro lado:

n D = n A ∩ B ∪ B ∩ C

Aqui vai mais uma relação:

n A ∩ B ∪ B ∩ C = n A ∩ B + n B ∩ C - n ( A ∩ B ∩ C )

Então:

n D = n A ∩ B + n B ∩ C - n ( A ∩ B ∩ C )

Só que se a gente olhar para aquela equação ali:

n A ∩ B + n A ∩ C + n B ∩ C - n A ∩ B ∩ C = 3

Passando o termo n ( A ∩ C ) pro outro lado, ficamos com:

n A ∩ B + n B ∩ C - n A ∩ B ∩ C = 3 - n A ∩ C

Perceba que o lado esquerdo é justamente o que queremos, logo:

n D = 3 - n A ∩ C

E como desejamos que ele seja MÁXIMO, isso só acontece quando n A ∩ C = 0 e logo o número máximo de elementos é 3 .

Resposta

L e t r a   ( c )

Exercícios de Livros Relacionados

Prove que todo subconjunto do R 2 com um número finito de pontos tem conteúdo nulo.
Prove que o conjunto vazio tem conteúdo nulo.
Sejam AeB subconjuntos do R 2 com A ⊂ B . Prove que se B tiver conteúdo nulo, então A também terá.