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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 2.3 - Ex. 1

Sejam A   e   B subconjuntos do R 2 com A ⊂ B . Prove que se B tiver conteúdo nulo, então A também terá.

Passo 1

Seja B um subconjunto com conteúdo nulo. E A ⊂ B .

Então, ∀ ε > 0 , existe um número finito de retângulos A 1 ,   A 2 , … A n tais que B ⊂ A 1 ∪ A 2 ∪ … ∪ A n e ∑ i = 1 n m A i < ε   onde m A i é a área do retângulo A i .

O subconjunto B pode ser coberto por um número finito de retângulos cuja soma das áreas seja tão pequena quanto se queira.

Como A ⊂ B então A também pode ser coberto por esses retângulos.

Então, se A ⊂ B então ∀ ε < 0 , existe um número finito de retângulos A 1 ,   A 2 ,   … ,   A n tais que A ⊂ A 1 ∪ A 2 ∪ … ∪ A n   e   ∑ i = 1 n m A 1 < ε .

Portanto, A tem conteúdo nulo.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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