EDP’s gerais
Teoria
Introdução
Uma equação diferencial parcial (EDP) é uma equação envolvendo funções de várias variáveis independentes e dependente de suas derivadas. Estas equações surgem naturalmente em problemas de física matemática, física e engenharia, pois podem descrever diversos fenômenos.
Neste tópico nós vamos falar de EDP’s gerais, então olha esse exemplo EDP que descreve uma taxa de crescimento,
Agora vem a grande pergunta: E agora?! Como resolver?
Vamos aplicar o método típico de solução: separação de variáveis!
Método de Resolução
O método de separação de variáveis, para você que não se recorda, consiste em supor que a solução da EDP possa ser escrita como a multiplicação de duas funções de uma única variável:
Então vamos pro passo a passo!
- Fazer a separação das variáveis
- Isolar cada função e igualar a uma constante
- Verificar as condições de contorno
- Resolver a primeira EDO
- Resolver a segunda EDO
- Combinar as soluções encontradas
Vamos colocar esse roteiro em prática!
PASSO 1: Vamos supor que a função possa ser escrita no formato que conversamos de separação de variáveis.
Mas antes, vamos entender o que é cada termo da função para depois substituir na EDP.
Onde, é a derivada de em função de ; e é a derivada segunda e primeira em função de
Substituindo isso na EDP,
Note, que a parte em se manteve e eu multipliquei pela derivada de . Seguindo o mesmo raciocínio vamos substituir os outros termos da função. Entao fica assim,
PASSO 2: Vamos colocar as funções de de um lado e as de do outro (separando-as). Veja que podemos fazer isso, pois podemos colocar o em evidência:
Agora passar multiplicando...
Agora vem o detalhe importante das EDPs, como o lado esquerdo da equação não depende de e o lado direito não depende de , temos que os dois lados da equação devem ser iguais a uma constante que chamaremos de
Daí nós tiramos as nossas duas EDOs:
PASSO 3: Agora falta analisar como vão ficar as condições de contorno no método de separação de variáveis. Do problema, sabemos que:
Então, como ...
Como não pode ser uma solução nula, pois caso fosse teríamos uma solução trivial , teremos.
Então temos tudo para resolver a nossa EDO em :
Essa é a ideia: manipular as equações para conseguir resolver uma das EDOs e depois usar a solução dessa EDO para resolver a outra. Vamos ver como fica:
PASSO 4: Vamos resolver a primeira EDO, e vamos começar por aquela que tem mais condições de contorno,
Através da equação característica, nós vamos substituir por
Resolvendo essa equação de segundo grau chegamos que,
Note que o nosso delta será,
Então agora é avaliar os diferentes deltas e achar o autovalor. Como a ideia aqui é só entender a solução da EDP geral, não convém fazer problema de autovalor aqui (isso a gente vai ver nos exercícios). Então vamos logo para a solução, ok?
A solução é a seguinte:
Onde...
Ou seja:
PASSO 5: Sabendo quais são os nosso nós poderemos resolver a nossa EDO de .
Podemos resolver essa EDO de primeira Ordem homogênea pela Equação Característica (Troca o por um e por ou ):
Então a solução da EDO por equação característica será:
PASSO 6: Combinando esse dois resultados nós vamos ter a nossa solução da EDP:
O índice serve apenas para te lembrar que essa é apenas uma solução! Se a gente varia o , vamos obtendo várias funções que também são soluções. Então o que a gente faz? Combinação linear de todas elas! Na prática, basta você falar que asolução é:
Show de bola.
PASSO 7: Então, galera, eu deixei uma condição de contorno aqui pro final. Agora vamos usar para determinar o :
Então...
Podemos tirar a exponencial de de dentro, já que ela não depende do índice do somatório:
Tá com aquela cara de série de Fourier né? Agora é só encontrar os coeficientes da série de Fourier usando o método que vocês já sabem:
Não se preocupe, pois essa função e serão dados. Aí basta integra e descobrir quem são !
Usando esses coeficientes na nossa fórmula de nós teremos a solução da EDP:
Dá trabalho mas a ideia é essa! Só seguir esse passo a passo que basicamente será sucesso. Agora, claro... tem que treinar bastante para não errar nas continhas. Vamos nessa?
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
UFRJ, Cálculo 4, PF 2014.2, Questão 3
Considere o seguinte problema de Dirichlet no quadrado com condições de Neumann:
- Encontre a solução estacionária para o problema
- Seja . Descreva o problema de valores de contorno e de valor inicial que é satisfeito por
- Determine o valor de para todo
Passo 1
a)
A solução estacionária vai ser aquela que não depende de , então vamos fazer
Assim
E vamos ter
Assim vamos ter
Além disso, vamos ter pelas condições de contorno
Assim
Assim, pela primeira equação
E pela segunda equação
Assim vamos ter
Com os valores de que ele deu
Passo 2
b)
Vamos fazer agora aquela mudança para que ele falou
Assim
As derivadas vão ser
Substituindo na equação vamos ter
Lembrando que fizemos , assim
Com
Faltam as condições de contorno e iniciais.
E
Assim nosso problema passa a ser
Lembrando que
Assim
Passo 3
c)
Para achar aquele valor de temos que resolver aquele problema de , assim como já achamos vamos achar .
Agora temos que resolver essa parada. Nosso problema é
Para isso vamos usar o método da separação de variáveis como ele sugeriu. Então
Substituindo na EDP temos
Agora vamos passar tudo com para um lado e o que tem no outro
Isso nos dá
Agora vamos ver as condições do problema,
Passo 4
Vamos resolver agora a equação que tem duas condições (de contorno), que vai ser
Aqui temos duas coisas para fazer, resolver essa equação como sempre fazemos ou olhar o formulário, que nesse caso tem a solução dessa equação, fica sempre atento se tem a solução dessas equações no formulário, isso vai te poupar muita conta. Vamos fazer como se não tivéssemos a resposta no formulário.
Isso nos diz que temos a seguinte equação característica
Caso 1: . Ou seja, o que está dentro da raiz é positivo. Nesse caso, . As soluções são do tipo:
Agora vamos usar as condições de contorno: , ,
Assim temos
Isso nos dá
Substituindo na segunda equação
E
Substituindo esses valores na nossa solução geral, temos
Mas isso não nos ajuda em nada! Essa é a solução trivial, que não nos interessa. Portanto, esse caso, , não nos dá soluções para a EDO.
Caso 2: . Nesse caso, . As soluções são do tipo:
Agora vamos usar as condições de contorno: ,
Assim
E só vamos ter a solução trivial.
Beleza, vamos ver o 3º caso agora!
Caso 3: . Ou seja, o que está dentro da raiz é negativo. Nesse caso, . As soluções são do tipo:
Substituindo
Agora vamos usar as condições de contorno: ,
Assim vamos ter, pela primeira equação,
Assim temos
Agora vamos com calma! Se tivermos , a solução é a trivial , que não nos interessa. Então, para essa igualdade ai em cima ser verdadeira, precisamos que o seno seja zero.
O seno se anula em , , ... , múltiplos inteiros de . Logo, podemos dizer que:
As soluções do 3º caso são então do tipo:
Passo 5
Tendo os valores de , resolver a outra EDO
Beleza, agora temos que resolver o problema em , temos:
A nossa solução aqui vai ser
Substituindo os valores de que achamos vamos ter
Agora vamos ter que vai ser
Essa é a solução fundamental , as combinações lineares satisfazem a EDO, então a solução vai ser
Passo 6
Falta achar esses coeficientes . Vamos usar a última condição que temos no problema
Substituindo a expressão de que achamos
Vendo essa série como uma série de Fourier de senos, fazemos uma extensão ímpar na função e temos:
Lembrando que
Vamos ter
Aqui temos que considerar duas situações, se aquela subtração dentro do cosseno é ou não.
Vamos começar com
Assim
Agora vamos ver quando
Assim vamos ter
Repara que tanto quando sempre vão ser vezes um número inteiro, assim o seu seno vai ser
E vamos ter
Passo 7
Vamos voltar para
O único coeficiente que vai aparecer aí é p que é , então
Como
Vamos ter
O valor que ele quer é
Resposta
a)
Com os valores de que ele deu
b)
c)
Exercício Resolvido #2
UFRJ, Cálculo 4, P2 2012.1, Questão 3
Aplique separação de variáveis na equação diferencial parcial com condições de contorno abaixo, e encontre as soluções diferenciais ordinárias (EDOs) envolvendo as variáveis e , com as respectivas condições de contorno. (Obs: não é necessário resolver as EDOs.)
para
Passo 1
Como sempre, temo que fazer a separação de variáveis. Mas essa EDO parcial aqui é meio diferente do que já vimos, né? Não importa, o passo a passo é o mesmo!
Vamos supor que a função que procuramos possa ser escrita como a multiplicação de uma função apenas da variável por outra apenas da variável , dessa forma:
Vamos procurar uma solução dessa forma, com as variáveis separadas. Ok, tem que satisfazer a EDO, né?
Então, vamos substituí-la ai! Vamos com calma, ok? Temos:
Repare que, derivando em relação a , é vista como constante, o mesmo ocorre para quando derivamos em relação a .
Passo 2
Agora vamos separar as variáveis nessa equação, de um lado deixamos tudo que tem e do outro tudo que tem :
Como essa igualdade deve valer para todo e para todo e essas variáveis são independentes, sabemos que é uma constante.
Vamos agora separar essa igualdade em duas equações:
Passo 3
Agora vamos separar as variáveis nas condições problema, fazendo :
Veja que se , isso implica que , encontramos a solução trivial. Então, nós precisamos ter . O mesmo ocorre aqui:
Passo 4
O problema pede as EDO’s nas variáveis e com suas respectivas condições de contorno, então vamos reescrever o que encontramos.
Temos o problema de contorno
E a EDO em :
Como a questão não pede a resolução, paramos por aqui.
Resposta
Exercício Resolvido #3
UFRJ, Cálculo 4, P2 2014.1, Questão 4
Considere a equação de ondas em um meio dispersivo
- Achar todas as soluções não triviais que possam ser escritas na forma e que satisfaçam .
- Adicionando às condições de contorno do item (a) as condições iniciais e sendo uma função contínua em , com derivada seccionalmente contínua em e satisfazendo , determinar a solução .
Passo 1
Letra a)
Primeiro precisamos fazer a separação de variáveis.
Beleza, mas essa não é a Equação de Onda que estamos acostumados a ver, né? Tem um termo ali a mais! E agora? Vamos fazer exatamente o mesmo que temos feito até aqui.
Procuramos uma solução do tipo:
Aplicando isso na Equação de Onda
Agora o que a gente fazia era passar tudo que tem para um lado e o que tem para o outro, né? Faremos isso:
Como essa igualdade vale para todo e para todo , essas razões devem ser independentes tanto de como de , logo, podemos dizer que isso é igual a uma constante:
Separando a igualdade em 2 equações, temos:
Beleza, agora vamos aplicar a separação para as condições do problema:
Passo 2
Agora precisamos resolver o problema que tem duas condições (de contorno), em :
Temos a seguinte equação característica:
Caso 1: . Ou seja, o que está dentro da raiz é positivo. Nesse caso, . As soluções são do tipo:
Agora vamos usar as condições de contorno:
Isso nos dá
Substituindo esses valores na nossa solução geral, temos
Mas isso não nos ajuda em nada! Essa é a solução trivial, que não nos interessa. Portanto, esse caso, , não nos dá soluções para a EDO.
Caso 2: . Nesse caso, . As soluções são do tipo:
Agora vamos usar as condições de contorno:
Isso nos dá
Substituindo esses valores na nossa solução geral, temos
Novamente, a solução trivial, que não nos ajuda em nada. Beleza, vamos ver o 3º caso agora!
Caso 3: . Ou seja, o que está dentro da raiz é negativo. Nesse caso, . As soluções são do tipo:
Substituindo
Agora vamos usar as condições de contorno:
Isso nos dá
Agora vamos com calma! Se tivermos , a solução é a trivial , que não nos interessa. Então, para essa igualdade ai em cima ser verdadeira, precisamos que o seno seja zero.
O seno se anula em , , ... , múltiplos inteiros de . Logo, podemos dizer que:
As soluções do 3º caso são então do tipo:
Esses são os autovetores correspondentes aos autovalores . Não escrevemos a constante por convenção, lembre-se disso!
Passo 3
Tendo os valores de , vamos resolver a outra EDO
Vamos resolver pelo método que conhecemos, da equação característica. Repare que, como o valor de é conhecido (do passo anterior), não precisamos analisar os casos de , olha só:
Repare que, tanto (por sua definição) como (que encontramos no passo anterior) são positivos, logo, o que está dentro da raiz é negativo, . Podemos reescrever como:
As soluções da EDO são do tipo:
Certo? Então temos soluções do tipo onde
Passo 4
Letra b)
Agora temos as condições adicionais
A condição que é uma função, nós deixamos por último. Primeiro, vamos aplicar a separação de variáveis na seguinte condição:
Essa é a condição que temos que usar na solução da EDO em , para nos livramos daquelas constantes arbitrárias. Temos:
Certo? Então podemos escrever:
Agora sim, conseguimos nos livrar das constantes. Esses são os autovetores . Nossa solução fundamental fica:
Passo 5
Escrever como série e achar os coeficientes da série
Aquelas são as soluções fundamentais que nós encontramos. Nós sabemos que combinações lineares dessa solução também satisfazem a EDO, não é? Bom, com uma série nada mais é do que uma combinação linear, podemos escrever:
Agora vamos usar a condição que faltou:.
Como essa é uma Série de Fourier de senos, fazendo uma extensão ímpar de , podemos dizer que:
Esse veio do denominador do seno! É o período da série, o comprimento da onda, ok?
Pronto, essa é a solução do problema!
Resposta
Onde
Exercício Resolvido #4
UNICAMP, Cálculo 3, P3 2011.1, Questão 4
Mostre que o método de separação de variáveis pode ser usado para substituir a equação
por um par de equações diferenciais ordinárias. Vale o princípio da superposição para essa equação (uma combinação linear qualquer de soluções também é solução)?
Passo 1
Para resolver o problema por separação de variáveis, vamos escrever
Com a separação, teremos:
Passo 2
Portanto, nossa equação se torna
E isso origina duas equações (uma em e outra em ):
o que separa a EDP em um sistema de EDOs.
Passo 3
O princípio da superposição será valido para essa EDP, uma vez que a equação é linear(não aparece nenhuma função de na equação) e homogênea.
Resposta
; Sim.