Teoria

Introdução

Uma equação diferencial parcial (EDP) é uma equação envolvendo funções de várias variáveis independentes e dependente de suas derivadas. Estas equações surgem naturalmente em problemas de física matemática, física e engenharia, pois podem descrever diversos fenômenos.

Neste tópico nós vamos falar de EDP’s gerais, então olha esse exemplo EDP que descreve uma taxa de crescimento,

u t = u x x - 2 u x ,     0 < x < L ,       t > 0 u 0 , t = u L , t = 0 ,     t > 0 u x , 0 = f x ,     0 < x < L

Agora vem a grande pergunta: E agora?! Como resolver?

Vamos aplicar o método típico de solução: separação de variáveis!

Método de Resolução

O método de separação de variáveis, para você que não se recorda, consiste em supor que a solução da EDP possa ser escrita como a multiplicação de duas funções de uma única variável:

u x , y = X x Y y

Então vamos pro passo a passo!

  1. Fazer a separação das variáveis
  2. Isolar cada função e igualar a uma constante
  3. Verificar as condições de contorno
  4. Resolver a primeira EDO
  5. Resolver a segunda EDO
  6. Combinar as soluções encontradas

Vamos colocar esse roteiro em prática!

PASSO 1: Vamos supor que a função u possa ser escrita no formato que conversamos de separação de variáveis.

u x , t = X x T ( t )

Mas antes, vamos entender o que é cada termo da função para depois substituir na EDP.

u t = u x x - 2 u x

Onde, u t é a derivada de u em função de t ; u x x e u x é a derivada segunda e primeira em função de x

Substituindo isso na EDP,

u t →   X x T ' t

Note, que a parte em X x se manteve e eu multipliquei pela derivada de T t . Seguindo o mesmo raciocínio vamos substituir os outros termos da função. Entao fica assim,

X x T ' t = X ' ' x T t - 2 X ' x T ( t )

PASSO 2: Vamos colocar as funções de x de um lado e as de t do outro (separando-as). Veja que podemos fazer isso, pois podemos colocar o T t em evidência:

X x T ' t = X ' ' x - 2 X ' x T t

Agora passar multiplicando...

T ' t T t = X ' ' x - 2 X ' ( x ) X x

Agora vem o detalhe importante das EDPs, como o lado esquerdo da equação não depende de x e o lado direito não depende de t , temos que os dois lados da equação devem ser iguais a uma constante que chamaremos de - λ

T ' t T t = X ' ' x - 2 X ' x X x = - λ

Daí nós tiramos as nossas duas EDOs:

X ' ' - 2 X ' = - λ X ,     T ' = - λ T

PASSO 3: Agora falta analisar como vão ficar as condições de contorno no método de separação de variáveis. Do problema, sabemos que:

u 0 , t = u L , t = 0

Então, como u x ,   t = X x ⋅ T t ...

X 0 T ( t ) = X L T ( t ) = 0

Como T ( t ) não pode ser uma solução nula, pois caso fosse teríamos uma solução trivial u x ,   t = 0 , teremos.

X 0 = X L = 0

Então temos tudo para resolver a nossa EDO em X :

X ' ' - 2 X ' = - λ X X 0 = X L = 0

Essa é a ideia: manipular as equações para conseguir resolver uma das EDOs e depois usar a solução dessa EDO para resolver a outra. Vamos ver como fica:

PASSO 4: Vamos resolver a primeira EDO, e vamos começar por aquela que tem mais condições de contorno,

X ' ' - 2 X ' = - λ X

Através da equação característica, nós vamos substituir por r

r ² - 2 r = - λ

Resolvendo essa equação de segundo grau chegamos que,

r = 1 ± 1 - λ

Note que o nosso delta será,

∆ = 1 - λ

Então agora é avaliar os diferentes deltas e achar o autovalor. Como a ideia aqui é só entender a solução da EDP geral, não convém fazer problema de autovalor aqui (isso a gente vai ver nos exercícios). Então vamos logo para a solução, ok?

A solução é a seguinte:

X n = e x sen ⁡ λ n - 1   x

Onde...

λ n = 1 + n 2 π 2 L 2 ,     n = 1,2 , …

Ou seja:

X n = e x sen ⁡ n π x L

PASSO 5: Sabendo quais são os nosso λ n nós poderemos resolver a nossa EDO de t .

T ' = - λ T  

T ' + λ n T = 0

Podemos resolver essa EDO de primeira Ordem homogênea pela Equação Característica (Troca o T ' por um b 1 e T por b 0 ou 1 ):

b + λ n = 0

b = - λ n

Então a solução da EDO por equação característica será:

T t = e b t = e - λ n t   →

T n t = e - 1 + n 2 π 2 L 2 t

PASSO 6: Combinando esse dois resultados nós vamos ter a nossa solução da EDP:

u n x ,   t = X n x ⋅ T n t →

u n = e x sen ⁡ n π x L . e - 1 + n 2 π 2 L 2 t

O índice n serve apenas para te lembrar que essa é apenas uma solução! Se a gente varia o n , vamos obtendo várias funções que também são soluções. Então o que a gente faz? Combinação linear de todas elas! Na prática, basta você falar que asolução u x ,   t é:

u x , t = ∑ n = 0 ∞ c n   u n x , t =

∑ n = 0 ∞ c n   e x sen ⁡ n π x L . e - 1 + n 2 π 2 L 2 t

Show de bola.

PASSO 7: Então, galera, eu deixei uma condição de contorno aqui pro final. Agora vamos usar para determinar o c n :

f x = u x , 0

Então...

f x = ∑ n = 0 ∞ c n   e x sen ⁡ n π x L e 0 = ∑ n = 0 ∞ c n   e x sen ⁡ n π x L →

Podemos tirar a exponencial de x de dentro, já que ela não depende do índice n do somatório:

f x = e x ∑ n = 0 ∞ c n   sen ⁡ n π x L   →

e - x f x = ∑ n = 0 ∞ c n   sen ⁡ n π x L

Tá com aquela cara de série de Fourier né? Agora é só encontrar os coeficientes da série de Fourier usando o método que vocês já sabem:

c n = 2 L ∫ 0 L e - x f x sen ⁡ n π x L d x

Não se preocupe, pois essa função f x e L serão dados. Aí basta integra e descobrir quem são c n !

Usando esses coeficientes na nossa fórmula de u nós teremos a solução da EDP:

u x ,   t = ∑ n = 0 ∞ c n   e x sen ⁡ n π x L . e - 1 + n 2 π 2 L 2 t

Dá trabalho mas a ideia é essa! Só seguir esse passo a passo que basicamente será sucesso. Agora, claro... tem que treinar bastante para não errar nas continhas. Vamos nessa?

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