Teoria
Introdução
Uma equação diferencial parcial (EDP) é uma equação envolvendo funções de várias variáveis independentes e dependente de suas derivadas. Estas equações surgem naturalmente em problemas de física matemática, física e engenharia, pois podem descrever diversos fenômenos.
Neste tópico nós vamos falar de EDP’s gerais, então olha esse exemplo EDP que descreve uma taxa de crescimento,
Agora vem a grande pergunta: E agora?! Como resolver?
Vamos aplicar o método típico de solução: separação de variáveis!
Método de Resolução
O método de separação de variáveis, para você que não se recorda, consiste em supor que a solução da EDP possa ser escrita como a multiplicação de duas funções de uma única variável:
Então vamos pro passo a passo!
- Fazer a separação das variáveis
- Isolar cada função e igualar a uma constante
- Verificar as condições de contorno
- Resolver a primeira EDO
- Resolver a segunda EDO
- Combinar as soluções encontradas
Vamos colocar esse roteiro em prática!
PASSO 1: Vamos supor que a função possa ser escrita no formato que conversamos de separação de variáveis.
Mas antes, vamos entender o que é cada termo da função para depois substituir na EDP.
Onde, é a derivada de em função de ; e é a derivada segunda e primeira em função de
Substituindo isso na EDP,
Note, que a parte em se manteve e eu multipliquei pela derivada de . Seguindo o mesmo raciocínio vamos substituir os outros termos da função. Entao fica assim,
PASSO 2: Vamos colocar as funções de de um lado e as de do outro (separando-as). Veja que podemos fazer isso, pois podemos colocar o em evidência:
Agora passar multiplicando...
Agora vem o detalhe importante das EDPs, como o lado esquerdo da equação não depende de e o lado direito não depende de , temos que os dois lados da equação devem ser iguais a uma constante que chamaremos de
Daí nós tiramos as nossas duas EDOs:
PASSO 3: Agora falta analisar como vão ficar as condições de contorno no método de separação de variáveis. Do problema, sabemos que:
Então, como ...
Como não pode ser uma solução nula, pois caso fosse teríamos uma solução trivial , teremos.
Então temos tudo para resolver a nossa EDO em :
Essa é a ideia: manipular as equações para conseguir resolver uma das EDOs e depois usar a solução dessa EDO para resolver a outra. Vamos ver como fica:
PASSO 4: Vamos resolver a primeira EDO, e vamos começar por aquela que tem mais condições de contorno,
Através da equação característica, nós vamos substituir por
Resolvendo essa equação de segundo grau chegamos que,
Note que o nosso delta será,
Então agora é avaliar os diferentes deltas e achar o autovalor. Como a ideia aqui é só entender a solução da EDP geral, não convém fazer problema de autovalor aqui (isso a gente vai ver nos exercícios). Então vamos logo para a solução, ok?
A solução é a seguinte:
Onde...
Ou seja:
PASSO 5: Sabendo quais são os nosso nós poderemos resolver a nossa EDO de .
Podemos resolver essa EDO de primeira Ordem homogênea pela Equação Característica (Troca o por um e por ou ):
Então a solução da EDO por equação característica será:
PASSO 6: Combinando esse dois resultados nós vamos ter a nossa solução da EDP:
O índice serve apenas para te lembrar que essa é apenas uma solução! Se a gente varia o , vamos obtendo várias funções que também são soluções. Então o que a gente faz? Combinação linear de todas elas! Na prática, basta você falar que asolução é:
Show de bola.
PASSO 7: Então, galera, eu deixei uma condição de contorno aqui pro final. Agora vamos usar para determinar o :
Então...
Podemos tirar a exponencial de de dentro, já que ela não depende do índice do somatório:
Tá com aquela cara de série de Fourier né? Agora é só encontrar os coeficientes da série de Fourier usando o método que vocês já sabem:
Não se preocupe, pois essa função e serão dados. Aí basta integra e descobrir quem são !
Usando esses coeficientes na nossa fórmula de nós teremos a solução da EDP:
Dá trabalho mas a ideia é essa! Só seguir esse passo a passo que basicamente será sucesso. Agora, claro... tem que treinar bastante para não errar nas continhas. Vamos nessa?