EDO de 2ª Ordem com Coeficientes Constantes
Teoria
Introdução
Basicamente, esse capítulo e os próximos são a aplicação das Transformadas de Laplace, então se você ficou com alguma dúvida volta lá para dar uma revisada!
Você já viu a definição da Transformada de Laplace, como calculá-la e várias de suas propriedades. Mas para que isso tudo? Para chegarmos aqui: vamos usar todos esses conceitos para resolver EDO’S.
Transformada de Laplace de derivadas
Antes de continuar, é bom lembrar bem das transformadas de derivadas. Vimos anteriormente que a transformada de uma derivada de ordem é:
Traduzindo isso aí, a primeira coisa que vai aparecer é um elevado a ordem da derivada e que multiplica a transformada da função:
Depois, todos os termos terão o sinal de menos que pode sumir na hora de substituir os valores.
O grau do vai diminuindo um a um a cada termo até chegar ao grau zero e a ordem de vai aumentando um a um a cada termo até chegar ao grau .
Não vai esquecer isso na prova, hein?! Para ordem , vai ficar:
E ordem :
Repare que precisamos saber os valores iniciais da função para calcular.
Entendeu tudo isso? Vamos seguir. Não entendeu? Volte no tipo de transformadas de derivadas que está tudo bem mais suave por lá.
EDO e Laplace
Vamos ver um exemplo prático desse método, para você entender bem como ele funciona.
Exemplo: Resolva o problema de valor inicial:
Provavelmente você já resolveu esse tipo de problema pelo método da equação característica, agora vamos ver como resolver por Laplace.
Passo 1: Aplicar a Transformada de Laplace à equação.
Lembra que a Transformada de Laplace é linear? Temos
Agora vamos aplicar aquela propriedade da Transformada da derivada, lembra dela?
Substituindo na equação, temos:
Passo 2: Substituir os valores iniciais e isolar
Como , temos:
Passo 3: Agora vamos decompor a expressão que encontramos em frações parciais.
O tipo que trata das transformadas tradicionais fala bem de frações parciais, se você não entender esse passo, volte rapidinho nele ;-)
As raízes de são e , portanto, podemos escrever .
Temos que juntar tudo agora para achar essas constantes e :
Juntando os termos pelos graus de :
Como o denominador já é o mesmo, temos:
Portanto:
- Agora que já temos os coeficientes e , basta reescrever as frações que criamos.
Passo 4: Agora que já temos as frações parciais, precisamos reconhecer a função pela sua transformada. Ou seja, achar a transformada inversa!
Lembra que ? Essa transformada é muito parecida com cada uma das frações parciais, não é? Vamos, então, reescrever essas frações para reconhecer a função.
Portanto, é exatamente aquela expressão dentro dos colchetes da transformada:
Lembre-se que é uma função de , não de ! Não se confunda com isso, ok?
Talvez você esteja se perguntando: por que resolver EDO por Laplace? O método antigo já não estava bom?
Realmente, em certos casos resolver por Laplace dá muito mais trabalho! Mas Laplace também tem suas vantagens.
Uma delas é que conseguimos trabalhar com EDO’s não-homogêneas muito facilmente (se você não lembra, não tem problema, EDO não-homogênea é aquela que não tem “” do outro lado do “”. Tem uma função qualquer perdida).
Nesse caso, a única diferença é que temos que calcular a transformada dessa função também , quando formos aplicar Laplace na EDO. Outra vantagem é que não é necessário substituir as condições iniciais depois, ao longo do método elas já serão substituídas (lembra que na transformada da derivada, é necessário conhecer os valores iniciais?).
Resolver esse tipo de EDO não homogênea pelo método da equação característica dá muito mais trabalho! Se você já aprendeu isso, deve se lembrar.
Então, vamos resumir o que vimos para organizar melhor as ideias!
Passo a Passo para EDO por Laplace:
- Aplicar Laplace à EDO;
- Isolar , encontrando uma expressão para a transformada de (não se esqueça de substituir os valores iniciais que o problema deu);
- Decompor a expressão de em frações parciais;
- Reconhecer funções por suas transformadas (ver e “ajustar” cada fração parcial separadamente).
Basicamente todos os exercícios de EDO resolvidos por Laplace vão seguir esse mesmo padrão. A parte mais complicada será reconhecer a função depois que você encontrar sua transformada , às vezes você vai precisar usar um pouco de algebrismo. Por isso, é uma boa você treinar bastante essa “criatividade” fazendo exercícios!
EDO e Laplace
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
UNICAMP - Cálculo 3 - Exame 2013 - 2c
Resolva o problema de valor inicial
Passo 1
Vamos usar a Transformada de Laplace para resolver esse PVI, beleza? Para isso, aplicamos a transformada de Laplace em todo mundo.
Agregando os valores iniciais dados, temos
Além disso, para o termo do lado direito, sabemos que
Passo 2
Substituindo na equação, temos:
Reordenando:
Passo 3
Agora, vamos usar frações parciais para achar a inversa de , isto é, o .
O numerador da direita, então, se torna:
E, comparando termo a termo, para que a expressão se iguale a :
Assim, concluímos que , , e . Logo:
Passo 4
Por fim, vamos reconhecer as inversas...
Como , vem:
Resposta
Exercício Resolvido #2
CEFET - EDO - P3 Hélder 2014.2 – 4
Considere o seguinte PVI:
Resolva usando transformada de Laplace.
Passo 1
Vamos lembrar as transformadas das derivadas:
Em breve usaremos isso!
Vamos aplicar a transformada em ambos os lados da EDO:
E a transformada de uma exponencial:
Substituindo as transformadas:
Passo 2
Agrupando tudo que tem e colocando o resto para outro lado da equação:
Assim:
Passo 3
Vamos achar as raízes de :
Eita, não deu galera! As raízes vão dar números complexos! Então vamos só completar quadrado perfeito:
Substituindo isso na EDO:
Passo 4
Vamos aplicar frações parciais :
Galera, eu voltei a ao invés de para fazer o mmc!
Assim:
Igualando os coeficientes:
Analisando a segunda e a terceira equação:
Somando esses 2 termos:
Assim:
E
Logo ficou:
Então finalmente:
Passo 5
Então vamos resolver cada um:
Esse representa que a função está deslocada em , o macete é esquecer ela por um momentinho e ficar só com:
Beleza, agora lembre que era está deslocada, isso representa uma exponencial, em que a constante do expoente é o deslocamento da função , tá lá na nossa teoria ;), então fica assim:
E finalmente a solução:
Resposta
Exercício Resolvido #3
CEFET - EDO - P2 Hélder 2014.2 – 2 modificada
Considere o PVI:
a) Ache a transformada de Laplace da solução deste PVI.
b) Expresse a solução particular do PVI em função de uma convolução
Passo 1
a)
Utilizando a propriedade de Laplace, transformada da derivada:
Com as condições iniciais
Aplicando a transformada na EDO:
Mas sabemos que:
Substituindo as transformadas:
Arrumando:
Passo 2
Agora o lado direito:
Assim a EDO fica:
Jogando os termos sem Laplace para o lado direito:
Vou dividir tudo por :
Colocando em evidência:
Eita que doidera, né?! Mas a letra já foi!
Passo 3
b) Agora pra letra , vamos pegar o resultado da e arrumar de novo:
Porque isso ajuda a gente? Bem, porque podemos usar a propriedade distributiva da integral de convolução!
Dessa forma, temos que:
Mas opa, dois desses aí são tranquilos, vamos ter:
O que sobrou a gente tenta achar a transformada inversa também
Utilizando frações parciais
Assim obteremos o seguinte sistema
E encontraremos que
E assim,
E desses dois dentro dos colchetes nós sabemos a transformada inversa.
Com isso podemos concluir que:
Chegamos ao fim, vamos ter:
E dá uma olhada nisso: Tá vendo que temos um produto de transformadas? E nós sabemos quais funções deram origem a essas transformadas! Então o que temos que fazer é só escrever na forma da definição de convolução igual aqui em baixo!
Pronto!
Resposta
Exercício Resolvido #4
Solução de PVI para EDO e Sistema de EDO por Laplace
Use transformadas de Laplace para resolver o seguinte problema do valor inicial
Com
Passo 1
Vamos aplicar transformada de Laplace na equação
Lembrando que
Vamos fazer
Para facilitar nossa vida, a EDO fica
Passo 2
Vamos fazer agora
Lembrando que
E
Vamos ter
Passo 3
A EDO ficou
Isolando vamos ter
Agora a gente vai ter um trabalhinho porque vamos precisar separar isso em frações parciais:
Essa forma de separar as frações parciais é ótima porque temos variáveis ( até ) e vamos montar um sistema com equações (de até ). E lembre-se, o numerador em frações parciais sempre tem que ser pelo menos um grau a menos que o denominador. Então colocando tudo no mesmo denominador temos:
Igualando os índices montamos o seguinte sistema:
Da linha , conseguimos simplificar a linha e :
Fazendo linha menos linha achamos . Substituindo todos os por temos:
Reduzimos em uma equação porque a primeira e segunda linha eram iguais. Do sistema acima, podemos fazer linha menos linha pra obter e trocando por na terceira linha, ficamos com:
E daí conseguimos pegar os valores das constantes que faltavam. Por exemplo, do ultimo sistema, linha , conseguimos obter:
E por fim da linha do último sistema:
Passo 4
Do resultado do passo anterior, já que:
Vamos ter:
Assim
A primeira é a transformada de deslocada em unidade.
A segunda é dada por
A terceira, a gente separa em duas:
Que são as transformadas do cosseno e seno respectivamente. Assim juntando tudo isso:
Simplificando,