EDO de 2ª Ordem com Coeficientes Constantes – Função Degrau e Delta de Dirac
Teoria
Introdução
Nessa seção a gente vai ver EDOs não-homogêneas como abaixo:
Mas esse não vai ser uma função qualquer. Nã-Nã-Não! Ele vai ser uma função que envolve degrau ou impulso. Então você precisa estar bem afiado com esses conceitos.
Degrau
Como o que vamos falar trata também desses dois conceitos, é bom você se lembrar. O degrau unitário é uma função que vale à esquerda de seu ponto central e a direita desse mesmo ponto:
Podemos também associar uma função a ele, que ficará:
A transformada dessa coisa linda será:
Ou seja, se temos o degrau multiplicando uma função deslocada, teremos a transformada da função sem o deslocamento vezes a exponencial!
Delta de Dirac
O Delta de Dirac, ou impulso, é como se fosse uma força provocada por um empurrão, dura muito pouco tempo, mas seus efeitos não são desprezíveis. Um impulso aplicado no tempo é:
Ou seja, a força é muito grande num um único ponto e nula em todos os demais.A transformada desse menino é:
Se você entendeu bem o que falamos até aqui, vamos em frente. Se ficou alguma dúvida, vale a pena voltar um pouquinho e olhar os tipos de degrau e delta de Dirac.
Resolvendo a EDO
Então gente, vamos a um exemplo prático: Resolver o seguinte problema
Bom gente como a gente tem feito para EDO’s vamos primeiro escrever as transformadas das derivadas
Agora se aplicarmos as condições iniciais vamos ficar com
Além disso, usando a fórmula que eu recordei lá em cima
Beleza, então se aplicarmos Laplace em ambos os lados da equação diferencial vamos ter
Usando as expressões que eu acabei de obter
Qual o próximo passo? Reagrupar...
Beleza agora é só proceder como de costume para achar a transformada inversa que neste caso será:
Assim mesmo, deslocado e multiplicado por um degrau por conta da exponencial que aparece na transformada. 😊
E se tivéssemos um degrau em vez de um delta? Não ia aparecer aquela exponencial que veio da transformada do delta de Dirac. Ali ia aparecer a transformada do Degrau, mas o procedimento é exatamente o mesmo. Partiu exercícios!
Delta de Dirac
Resolvendo a EDO
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
William E. Boyce, Equações diferenciais Elementares e problemas de valores de contorno, 8ªed. Rio de Janeiro: LTC, 2006, pp. 185, exercício 8 adaptado
Encontre a solução do problema de valor inicial dado
Passo 1
Vamos aplicar a Transformada de Laplace à equação. Temos o seguinte:
Temos o seguinte:
Aplicando aquela propriedade da Transformada da derivada:
Substituindo na equação, temos:
Passo 2
Vamos, então, substituir os valores iniciais e isolar . Temos e .
Passo 3
Já conseguimos reconhecer uma transformada de seno naquela fração ali, não é?
Temos:
Portanto
Passo 4
Certo, agora como temos uma exponencial “fora” de , vamos aplicar a seguinte fórmula:
Para o nosso problema:
Agora precisamos encontrar . Temos:
Ou seja:
Substituindo na expressão de , temos:
Portanto, podemos escrever:
Resposta
Exercício Resolvido #2
CEFET - EDO - P3 Roberto Sá 2012.1 – 3
Encontre a solução da EDO
Passo 1
Vamos lembrar disso aqui:
Substituindo as condições iniciais:
Transformada de Laplace de funções degrau:
Agora sim, vamos aplicar a transformada de Laplace na EDO:
Substituindo as transformadas:
Colocando a transformada em evidência:
Passo 2
Vamos aplicar frações parciais em cada termo:
Igualando os termos:
Jogando o resultado encontrado na equação 2 na 1:
Então:
Agora o outro termo:
Igualando os termos:
Da segunda equação:
Jogando tudo na primeira:
Então ficou assim:
Ae você pergunta, “po, por que você não colocou a exponencial no numerador?” Isso foi só opção minha, porque achei que colocando a exponencial iria dificultar a resolução desse sistema, pode colocar ele sem problemas, no final vai dar no mesmo! Vamos voltar para a EDO transformada:
Vou escrever assim pra ficar mais fácil de ver o que vamos fazer:
Substituindo as frações parciais que encontramos:
Aplicando a transformada inversa em cada termo:
Repare aqui que poderíamos ter feito direto:
Mas saber fazer pelo método de frações parciais é bem útil caso você tenha um branco na hora.
Se você não entendeu as duas últimas inversas, tenta fazer a transformada delas usando o final da teoria desse capítulo, que você vai ver que é isso mesmo!
Assim, o resultado é:
Da pra arrumar esse paranauê para deixar ele mais bonitinho(Ou quase):
Resposta
Exercício Resolvido #3
UERJ - Cálculo 3 - Lista 9 Fernando Lopes - 2a
Resolva
Passo 1
Partiu resolver umas EDOs que tenham função degrau? Hehehe
Aplica Laplace em tudo:
Mas quem é
Ele tem que ser antes de , e depois de , né?
Belezinha, ve se essa função casa bem:
Bacana, ela funciona! Depois de o vale 1 e o fica , assim a soma vai ficar . Faz o mesmo raciocínio para depois de e você verá que vai dar .
Vamos aplicar os laplaces:
Passo 2
Substituindo os laplaces encontrados na equação:
Utilizando fração parcial:
Assim :
Substituindo:
Abrindo isso daí:
Passo 3
Então galera vamos resolver cada parte, para isso primeiro vamos organizar isso tudo
Onde
Fizemos isso porque achando cada ali de cima temos as parcelas da solução. Depois é só somar tudo
Todas essa funções estão com um exponencial junto né? Temos uma transformação que leva isso em consideração
Então em cada uma dessas funções, precisamos nos preocupar só com a parte sem exponencial, para achar a , depois fazemos e temos cada uma das nossas funções.
Começando com
Lembrando que
Temos
Como é uma função que não muda nada mudando o para vamos ter
Assim
Passo 4
Vamos para agora.
De novo, lembrando que
Temos
Como é uma função que não muda nada mudando o para vamos ter
Assim
Passo 5
Vamos para agora.
Lembrando que
Temos, no nosso caso, onde
Dessa vez, mudar o para vai fazer bastante diferença, então vamos fazer isso
Assim
Passo 6
Vamos para agora.
De novo, lembrando que
Temos, no nosso caso, onde
Dessa vez, mudar o para vai fazer bastante diferença, então vamos fazer isso
Assim
Passo 7
Agora que achamos cada daqueles, vamos juntar tudo para achar a resposta final
Lembrando os valores de , , e que achamos nos passos anteriores
A nossa função vai ser
Resposta
Exercício Resolvido #4
UFRJ - Cálculo 4 - P1 2012.2 – 4
Considere a função
Resolva o Problema de Valor Inicial (PVI)
Justifique sua resposta.
Passo 1
Antes de tudo vamos fazer um esboço dessa para podermos escrever ela como função degrau. Temos o seguinte:
Isso é o mesmo que a função seno menos a sua parte a partir de , ou seja:
Na esquerda temos o seno e na direita, temos o seno apenas a partir de , ou seja, . Temos, então, o seguinte:
Passo 2
Agora vamos aplicar Laplace a essa equação, ok?
Sabemos que
Então, temos:
Para calcular a transformada da função degrau, vamos usar essa fórmula aqui:
O que nos dá:
Então:
Substituindo na expressão:
Agora vamos aplicar aquela propriedade da Transformada da derivada:
Substituindo na equação, temos:
Passo 3
Vamos, então, substituir os valores iniciais e isolar
Como , temos:
Passo 4
Agora vamos decompor a 1ª fração (que igual à 2ª) em frações parciais, por enquanto vamos nos esquecer da 3ª, você já vai entender porque!
- Fatorar o denominador
- Igualar a fração à soma de frações com denominadores iguais aos termos que encontramos. Como assim? Veja:
- Fazer o MMC dessas frações, juntá-las ao mesmo denominador.
- Agora, partindo do princípio que essas duas frações são iguais, vamos encontrar os coeficientes das frações parciais.
- Agora que já temos os coeficientes basta reescrever as frações que criamos.
Como não temos como fatorar os termos e , pois eles são irredutíveis, não tem jeito! Nossas frações parciais terão esses mesmos termos no denominador.
O numerador dessas frações que criamos sempre deve ter grau menor que o fator do denominador em uma unidade. Como temos grau 2 em , o numerador dessa fração deve ser (grau 1). O mesmo ocorre para a outra fração!
Vamos juntar os termos pelos graus de .
Como o denominador já é o mesmo, temos
Calma, essa expressão é enorme mesmo, vamos por partes! Vamos igualar cada coeficiente das potências de na esquerda e na direita. Como assim? Olha só:
Agora temos que resolver esse sisteminha.
Passo 5
Agora que já temos as frações parciais, precisamos reconhecer a função pela sua transformada. Calma, já está acabando!
Vamos colocar em evidência o coeficiente dos numeradores.
Como
Nós sabemos que:
Substituindo isso, temos:
Sobraram essas exponenciais “fora” de , não é? Vamos usar a seguinte fórmula:
Aplicando ao problema:
Substituindo:
Finalmente encontramos :