Transformada de Laplace: Derivada
Teoria
Fala aí, seja muito bem vindo ao Responde Aí! Hoje a gente vai aprender como calcular a derivada de uma transformada de Laplace. Isso mesmo, uma derivada! Então me diz, o que você faria se eu te pedisse pra calcular isso daqui:
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- Tabela Transformada de Laplace
- Transformada de Laplace: Derivada - Exercícios Resolvidos
- Cálculo de Transformada de Laplace
Transformada de Laplace: Derivada de Primeira Ordem
Pra a gente começar, vamos considerar uma função tipo
Ou seja, queremos calcular a transformada da derivada de
Para o nosso caso, temos:
Pra resolver isso a gente vai usar a nossa tabelinha de transformadas:
Então;
Aweeee! Agora a gente vai para as derivadas de segunda ordem, mas se você quiser também pode conferir o nosso conteúdo em vídeo 👇
Transformada de Laplace: Derivada de Segunda Ordem
Agora, imagina que queremos calcular a transformada de
Para o caso de
Resolvendo temos:
Transformada de Laplace: Derivada de Ordem
- O
que multiplica a transformada tem a mesma ordem da derivada; - Depois da transformada, todos os termos estão subtraindo;
- Depois da transformada, a ordem do
vai diminuindo a , enquanto a de aumenta na mesma proporção.
Então vamos ao passo a passo:
- Reconhecer a função
; - Achar
e assim sucessivamente; - Aplicar o teorema até a ordem que ele pediu (normalmente é até segunda ordem)
- Substituir os valores encontrados
Agora vamos praticar com exercícios?!
Transformada de Laplace: Derivada de Segunda Ordem
Transformada de Laplace: Derivada de Ordem
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
UNICAMP – Cálculo 3 – Exame 2013 – 2b
Dado que
é a transformada de Laplace de (), calcule e , sendo e .
Passo 1
Temos aqui um
e buscamos e .
Para a primeira derivada,
Passo 2
Vamos fazer essas contas então:
Passo 3
Para a segunda derivada:
Passo 4
Então, fazendo as contas
Resposta
;
Exercício Resolvido #2
UFRJ – Cálculo 4 – P1 2014.1 – 3b
Seja uma função seccionalmente contínua definida sobre cuja derivada é seccionalmente contínua e de ordem exponencial. Se, além disso, e , calcule .
Passo 1
Essa questão é pura aplicação de fórmulas, você vai ver! Temos a seguinte fórmula com transformada da derivada:
Logo,
Passo 2
Substituindo os dados do problema,
Certo? Beleza.
Passo 3
Agora temos que lembrar da fórmula da transformada de uma função vezes uma exponencial, já que é o que o problema pede:
Se você não se lembra dessa fórmula, relaxa! Dá um pulinho lá em primeiro teorema do deslocamento.
Passo 4
Aplicando à questão:
Nós já temos , não é? Então podemos encontrar substituindo por . Temos:
Resposta
Exercício Resolvido #3
UNICAMP – Cálculo – P2 2013.1 – 1a
Calcule a transformada de Laplace da função:
Sabendo que , .
Sugestão: .
Passo 1
Olha na nossa tabelinha não tem a transformada de ! Então o que podemos fazer? Bem, ainda não sei. Mas uma coisa interessante é que
Além disso, se eu chamar , temos .
Passo 2
Lembra da fórmula da transformada da derivada? É essa aqui
Olha essa sacada aqui:
Mas olha lá no passo 1 quem é a derivada de !
Passo 3
Como o enunciado nos contou que
Usando a fórmula que obtivemos no passo 2
Passo 4
Lembra lá da linearidade? Se for uma constante, podemos fazer
Assim,
Passo 5
Estamos quase lá! Para chegar no que ele quer falta aquela exponencial ! Vamos lembrar do primeiro teorema do deslocamento?
Se a gente chamar e . Vamos ter que
Lá do passo anterior a gente sabe quem é . Finalmente,