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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 7.5 - Ex. 62

Use o procedimento exposto no problema 61 para encontrar uma solução para o problema de valor inicial

y ' ' + y = sec ⁡ t ,       y 0 = 0 ,       y ' 0 = 0

Passo 1

Ai socorrinho que já vamos fechar essa seção

Então vamos com tudo!

Queremos resolver isso aqui usando o que descobrimos na questão 61:

y ' ' + y = sec ⁡ t ,       y 0 = 0 ,       y ' 0 = 0

Bem, na questão 61 letra b, tínhamos

a y ' ' + b y ' + c y = g t ,     y 0 = 0 ,       y ' 0 = 0

Comparando com a equação dessa seção, podemos dizer que:

a = 1

b = 0

c = 1

g t = s e c ⁡ ( t )

E aí lá na 61b, descobrimos que a solução da equação é

y 2 t = 1 a g * y 1

Onde y 1 = L - 1 a a s 2 + b s + c

Então agora é só usarmos essas informações e mandar ver!!

Passo 2

A solução da nossa equação, usando as informações da 61b, vai ser

y ( t ) = 1 a g * y 1

y t = 1 1 . s e c ⁡ ( t ) * L - 1 1 1 s 2 + 0 s + 1

y t = s e c ⁡ ( t ) * L - 1 1 s 2 + 1

y t = s e c ⁡ ( t ) * s e n t

Agora precisamos aplicar a fórmula de convolução, bora!

Passo 3

Temos

y t = s e c ⁡ ( t ) * s e n ( t )

Usando a formulazinha de convolução:

y t = ∫ 0 t sec ⁡ τ . s e n t - τ d τ

Sabemos que s e n a - b = s e n a . cos ⁡ b - s e n b . c o s ⁡ ( a ) e que sec ⁡ a = 1 c o s ⁡ ( a )

y t = ∫ 0 t 1 cos ⁡ τ . s e n t . cos ⁡ τ - s e n τ . cos ⁡ t d τ

y t = ∫ 0 t s e n t . cos ⁡ τ cos ⁡ τ d τ - ∫ 0 t s e n τ . cos ⁡ t cos ⁡ τ d τ

y t = ∫ 0 t s e n t d τ - ∫ 0 t s e n τ . cos ⁡ t cos ⁡ τ d τ

Os termos s e n ( t ) e c o s ⁡ ( t ) são constantes em relação a τ , então podemos colocar pra fora:

y t = s e n t ∫ 0 t d τ - cos ⁡ t ∫ 0 t t a n ⁡ ( τ ) d τ

Agora vamos resolver essas integrais

Passo 4

Temos

y t = s e n t ∫ 0 t d τ - cos ⁡ t ∫ 0 t t a n ⁡ ( τ ) d τ

Resolvendo as integrais:

y t = s e n t . τ τ = 0 τ = t - cos ⁡ t . - ln ⁡ cos ⁡ τ τ = 0 τ = t

y t = s e n t . ( t - 0 ) - cos ⁡ t . - ln ⁡ cos ⁡ τ - - ln ⁡ cos ⁡ 0

y t = s e n t . t - cos ⁡ t . - ln ⁡ cos ⁡ τ - - ln ⁡ 1

y t = s e n t . t - cos ⁡ t . - ln ⁡ cos ⁡ τ - 0

Então, por fim:

y t = s e n t . t + cos ⁡ t . ln ⁡ cos ⁡ τ

E acabaaaaaamosssss meu povoooo

Resposta

y t = s e n t . t + cos ⁡ t . ln ⁡ cos ⁡ τ

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