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Enunciado

Ciência dos Materiais - Callister - Ciência e Engenharia de Materiais. Uma Introdução- Ed: 8º - Capítulo 12.Perguntas e Problemas - Ex. 3

Mostre que a razão mínima entre os raios do cátion e do ânion para um número de coordenação de 6 vale 0,414 . (Sugestão: use a estrutura cristalina do N a C l (figura 12.2 ) e assuma que os ânions e cátions apenas se tocam ao longo das arestas do cubo através das diagonais das faces.)

Passo 1

Para resolvermos esse problema vamos utilizar a sugestão dada no próprio enunciado que é de usar a estrutura do N a C l     F C C a qual podemos planificar obtendo a seguinte estrutura

Se denotarmos por r a   e   r c os raios do cátion e ânion, respectivamente, podemos reparar que

G F = 2 r a

Além disso, temos que

F H = G H = r a + r c

No triângulo destacado em vermelho na imagem podemos aplicar Pitágoras de forma que vamos obter

G H 2 + F H 2 = F G 2

r a + r c 2 + r a + r c 2 = 2 r a 2 → 2 ⋅ r a + r c 2 = 4 ⋅ r a 2

Aplicando a raíz quadrada em ambos os lados (desconsiderando a parte negativa que não nos convém) vamos ter

2 ⋅ r a + r c = 2 r a → r a + r c = 2 r a 2  

Dividindo todo mundo por r a vamos encontrar

r a r a + r c r a = 2 r a r a ⋅ 2 → 1 + r c r a = 2 2

r c r a = 2 2 - 1 ≈ 0,414

Pronto, está mostrado o que a questão queria.

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o

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