Considere um projétil de massa movimentando-se no plano de um sistema de coordenadas. A condição inicial do projétil é . Adotamos nesta questão um sistema de unidades arbitrário, onde a constante gravitacional de Newton é igual a .
Agora, considere também um planeta de massa , com , fixo na origem do sistema de coordenadas.
Sabendo que a energia total do projétil é e seu momento angular é .Qual é a forma geométrica que descreve a trajetória? Justifique. Dica: ache o raio de equilíbrio minimizando o potencial efetivo e tire suas conclusões.
Passo 1
O enunciado nos informa que:
Ou seja, visto que a energia é negativa, a órbita será elíptica ou circular!
Passo 2
Analisando o potencial efetivo temos:
Utilizando o dado do enunciado de que :
O mínimo dessa função ocorre quando a derivada é igual a zero:
Isso quer dizer que ou . Como a primeira é impossível então ficamos com:
Passo 3
O enunciado nos disse que a condição inicial para o projétil é de que . Ou seja, como o planeta está na origem do sistema de coordenadas, isso quer dizer que o projétil está a uma distância de 2 do planeta, em outras palavras, ele inicia com uma órbita de raio 2. Como , a órbita possui dois raios diferentes, logo não pode ser circular. Trata-se, portanto, de uma órbita elíptica.
Resposta
A forma geométrica que descreve a trajetória é elíptica