Considere um projétil de massa movimentando-se no plano de um sistema de coordenadas nas situações descritas pelos itens abaixo. Adotamos nesta questão um sistema de unidades arbitrário, onde a constante gravitacional de Newton é igual a . Expresse seus resultados em função de onde for necessário.
O projétil desloca-se isoladamente em movimento retilíneo uniforme. Sua posição em função do tempo é dada por onde e são os versores dos eixos e , respectivamente. Qual é o módulo e o sentido do vetor momento angular do projétil com relação à origem desse sistema de coordenadas? Justifique.
Nos itens subsequentes, considere um planeta de massa , com , fixo na origem do sistema de coordenadas. Para os itens , e , o planeta é puntiforme e a condição inicial do projétil é e .
Determine o vetor momento angular e a energia total do projétil.
Qual é a forma geométrica que descreve a trajetória? Justifique. Dica: ache o raio de equilíbrio minimizando o potencial efetivo e tire suas conclusões.
Faça um esboço bem qualitativo da trajetória do projétil com relação à posição do planeta indicando, em dois pontos distintos da trajetória, as orientações dos versores das coordenadas polares.
O planeta agora é uma esfera de raio com densidade que varia radialmente de a de acordo com
Ou seja, é mais denso em seu centro do que em sua superfície. O projétil agora encontra-se em repouso na superfície do planeta. Partindo da equação da energia total do projétil obtenha a velocidade mínima, em termos de , para que o projétil escape para bem longe do planeta (velocidade de escape).
Passo 1
Lembrando que o momento angular pode ser calculado por:
O vetor nós já temos:
E o vetor velocidade nada mais é que a derivada do vetor posição:
Substituindo no momento angular:
Podemos reescrever como:
Lembrando que no produto vetorial, a multiplicação de vetores paralelos é nula. Logo . Sobrando apenas:
Pela regra da mão direita:
Passo 2
Nessas novas condições conseguimos observar que pouca coisa mudou. Segundo o enunciado, o vetor velocidade continua sendo e o vetor posição inicial se tornou , isso nos leva a crer que o vetor posição seja:
Logo, somente a componente na direção do vetor mudou com relação ao item anterior, e sabendo que esta componente é paralela à velocidade (não contribuindo, portanto, ao momento angular), temos que o momento angular é o mesmo do item anterior.
A energia total do projétil é:
Onde é a energia cinética e é a energia potencial gravitacional, que a grandes distâncias é dada por . Vamos aplicar ao nosso problema agora:
Onde e
Passo 3
No item anterior encontramos:
Ou seja, visto que a energia é negativa, a órbita será elíptica ou circular!
Analisando o potencial efetivo temos:
Lembrando que no item anterior, confirmamos que o momento angular continua .
O mínimo dessa função ocorre quando:
Como , a órbita possui dois raios diferentes, logo não pode ser circular. Trata-se, portanto, de uma órbita elíptica.
Passo 4
Temos que e são perpendiculares entre si. Em uma órbita elíptica, essa situação ocorre somente nas distâncias e . Como , concluímos que . A origem, onde o planeta está localizado, é um dos pontos focais da elipse.
Passo 5
Na superfície do planeta a energia total do projétil é:
A velocidade de escape é aquela que resulta na anulação da energia potencial gravitacional que puxa o projetil de volta para a terra, ou seja:
Resposta
A órbita possui dois raios diferentes, logo não pode ser circular. Trata-se, portanto, de uma órbita elíptica.
