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Exercícios Resolvidos de Critério para Possuir Inversa de Funções Vetoriais

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Exercício 3124

Enunciado

Se u , v = F x , y = ( e x cos ⁡ y , e x sen ⁡ y ) para que pontos ( x 0 , y 0 ) a função F tem inversa definida numa bola aberta de centro do ponto F ( x 0 , y 0 ) ?

Passo 1

Pra saber se a função vetorial tem inversa nas proximidades do ponto ( x 0 , y 0 ) , o determinante da matriz jacobiana nesse ponto, tem que ser diferente de zero.

Aqui a gente precisa saber qual, ou quais, são esses pontos, que fazem esse determinante ser diferente de zero.

Passo 2

Vamos começar calculando o jacobiano:

J F = ∂ f 1 ∂ x ∂ f 1 ∂ y ∂ f 2 ∂ x ∂ f 2 ∂ y = e x cos ⁡ y - e x sen ⁡ y e x sen ⁡ y e x cos ⁡ y

No ponto ( x 0 , y 0 ) :

J F ( x 0 , y 0 ) = e x 0 cos ⁡ y 0 - e x 0 sen ⁡ y 0 e x 0 sen ⁡ y 0 e x 0 cos ⁡ y 0

Passo 3

Agora vamos calcular o determinante:

det ⁡ J F x 0 , y 0 = e x 0 cos ⁡ y 0 - e x 0 sen ⁡ y 0 e x 0 sen ⁡ y 0 e x 0 cos ⁡ y 0 = e 2 x 0 c o s 2 y 0 + e 2 x 0 s e n 2 y 0 = e 2 x 0

Passo 4

Por fim, precisamos saber para que valores de ( x 0 , y 0 ) esse determinante é diferente de zero.

det ⁡ J F x 0 , y 0 ≠ 0

e 2 x 0 ≠ 0

Isso é diferente de zero para qualquer valor de x 0 , certo?

Agora, e os valores de y 0 ?

Bom, a expressão do determinante sequer depende de y 0 . Isso significa que y 0 pode assumir qualquer valor.

Logo, a função F tem inversa para todos os pontos

x 0 , y 0 ∈ R ²

Resposta

A função F tem inversa para todos os pontos

x 0 , y 0 ∈ R ²