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Exercícios Resolvidos de Critério para Possuir Inversa de Funções Vetoriais

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Exercício 1234

Enunciado

A função f ρ , θ , ϕ = ρ cos ⁡ θ sen ⁡ ϕ , ρ sen ⁡ θ sen ⁡ ϕ , ρ cos ⁡ ϕ está definida para todo ρ , θ , ϕ ∈ R ³ . Em que pontos ρ 0 , θ 0 , ϕ 0 ∈ R ³ é possível garantir que essa função admite inversa numa vizinhança do ponto ρ 0 , θ 0 , ϕ 0 ?

Passo 1

Pra saber se a função vetorial tem inversa nas proximidades do ponto ρ 0 , θ 0 , ϕ 0 , o determinante da matriz jacobiana nesse ponto, tem que ser diferente de zero.

Aqui a gente precisa saber qual, ou quais, são esses pontos, que fazem esse determinante ser diferente de zero.

Passo 2

Vamos começar calculando o jacobiano:

J F = ∂ f 1 ∂ ρ ∂ f 1 ∂ θ ∂ f 1 ∂ ϕ ∂ f 2 ∂ ρ ∂ f 2 ∂ θ ∂ f 2 ∂ ϕ ∂ f 3 ∂ ρ ∂ f 3 ∂ θ ∂ f 3 ∂ ϕ = cos ⁡ θ sen ⁡ ϕ - ρ sen ⁡ θ sen ⁡ ϕ ρ cos ⁡ θ cos ⁡ ϕ sen ⁡ θ sen ⁡ ϕ ρ cos ⁡ θ sen ⁡ ϕ ρ sen ⁡ θ cos ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ 0 - ρ sen ⁡ ϕ

No ponto ρ 0 , θ 0 , ϕ 0 :

J F ρ 0 , θ 0 , ϕ 0 = cos ⁡ θ 0 sen ⁡ ϕ 0 - ρ 0 sen ⁡ θ 0 sen ⁡ ϕ 0 ρ 0 cos ⁡ θ 0 cos ⁡ ϕ 0 sen ⁡ θ 0 sen ⁡ ϕ 0 ρ 0 cos ⁡ θ 0 sen ⁡ ϕ 0 ρ 0 sen ⁡ θ 0 cos ⁡ ϕ 0 cos ⁡ ϕ 0 0 - ρ 0 sen ⁡ ϕ 0

Passo 3

Agora vamos calcular o determinante:

det ⁡ J F ρ 0 , θ 0 , ϕ 0 = cos ⁡ θ 0 sen ⁡ ϕ 0 - ρ 0 sen ⁡ θ 0 sen ⁡ ϕ 0 ρ 0 cos ⁡ θ 0 cos ⁡ ϕ 0 sen ⁡ θ 0 sen ⁡ ϕ 0 ρ 0 cos ⁡ θ 0 sen ⁡ ϕ 0 ρ 0 sen ⁡ θ 0 cos ⁡ ϕ 0 cos ⁡ ϕ 0 0 - ρ 0 sen ⁡ ϕ 0 =

- ρ 0 2 c o s 2 θ 0 s e n 3 ϕ 0 - ρ 0 2 sen 2 ⁡ θ 0 sen ⁡ ϕ 0 c o s 2 ϕ 0 + 0 - ρ 0 2 cos 2 ⁡ θ 0 cos 2 ⁡ ϕ 0 sen ⁡ ϕ 0 - 0 - ρ 0 ² sen ² ⁡ θ 0 sen ³ ⁡ ϕ 0  

= - ρ 0 2 s e n 3 ϕ 0 c o s 2 θ 0 + sen 2 ⁡ θ 0 - ρ 0 2 sen ⁡ ϕ 0 c o s 2 ϕ 0 sen 2 ⁡ θ 0 + cos 2 ⁡ θ 0 =

- ρ 0 2 s e n 3 ϕ 0 - ρ 0 2 sen ⁡ ϕ 0 c o s 2 ϕ 0 = - ρ 0 2 sen ⁡ ϕ 0 s e n 2 ϕ 0 + c o s 2 ϕ 0 =

- ρ 0 2 sen ⁡ ϕ 0

Passo 4

Por fim, precisamos saber para que valores de ρ 0 , θ 0 , ϕ 0 esse determinante é diferente de zero.

det ⁡ J F ρ 0 , θ 0 , ϕ 0 ≠ 0

ρ 0 2 sen ⁡ ϕ 0 ≠ 0

Para isso ser diferente de zero, temos que:

ρ 0 2 ≠ 0

ρ 0 ≠ 0

E

sen ⁡ ϕ 0 ≠ 0

ϕ 0 ≠ k π

E o θ ?

Nossa expressão para o determinante sequer depende de θ 0 . Isso significa que θ 0 pode assumir qualquer valor.

Logo, a função f tem inversa para todos os pontos

{ ρ 0 , θ 0 , ϕ 0 ∈ R 3 ; ρ 0 ≠ 0   e   ϕ 0 ≠ k π }

Resposta

A função f tem inversa para todos os pontos

{ ρ 0 , θ 0 , ϕ 0 ∈ R 3 ; ρ 0 ≠ 0   e   ϕ 0 ≠ k π }