Enunciado
Elétrica - Sadiku - Fundamentos de Circuitos Elétricos- Ed: 5º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 27
27. Use a análise nodal para determinar as tensões nodais , e no circuito da Figura
Passo 1
No circuito acima, temos quatro nós. O nó inferior vai estar ligado à terra, com um potencial nulo.
Olha só! Você ai deve estar se perguntando! Que raios é esse S nas resistências de nossa figura? Não deveria ser Ω?
Calma que eu vou explicar! A resistência em nada mais é do que o inverso da resistência em . Se temos então uma resistência de , é porque a resistência equivalente em é:
A resistência em é muito útil. Ao invés de dividirmos a tensão nodal pela resistência equivalente em ... Quando a resistência está em , iremos multiplicar a tensão nodal pela resistência.
E com isso vamos dar início a nossa linha de pensamento.
Passo 2
Primeiramente, vamos escolher os sentidos das correntes e nomear as tensões de cada nó para aplicarmos a :
Com isso, aplicando a para o nó , temos que:
E depois, aplicando a para o nó , chegamos à:
E por último, a para o nó :
Passo 3
Nesse , vamos determinar agora as equações das correntes em relação às tensões nodais:
E substituindo em seguida essas correntes, nas três relações que obtivemos do , chegamos ao seguinte sistema de equações:
Passo 4
Agora, bora dar uma simplificada nesse sistema:
Passo 5
E vamos tratar de resolver esse sistema com três equações e três incógnitas, né? Vai ser complicado, mas vamos conseguir.
Para fazer isso, vamos ter que usar uma ferramenta comum em Álgebra Linear, o escalonamento pelo método de .
A eliminação de Gauss, ou método de escalonamento, é um algoritmo para se resolver sistemas de equações lineares Este método consiste em aplicar sucessivas operações elementares num sistema linear, para o transformar num sistema de mais fácil resolução, que apresenta exatamente as mesmas soluções que o original.
Uma matriz retangular, que é o nosso caso está na sua forma escalonada ou na forma de escada por linhas quando satisfaz as seguintes condições:
Todas as linhas não-nulas estão acima de qualquer linha composta só de zeros.
O pivô de cada linha está numa coluna à direita do pivô da linha acima.
Todos os elementos de uma coluna abaixo de um pivô são zero.
Bem! Vamos pro que interessa! Esse sistema de quatro equações e quatro incógnitas do , pode ser escrito como:
Tudo que temos que fazer então, é simplicar isso aí. Para isso, vamos recorrer ao escalonamento da seguinte matriz!
Essa é a chamada matriz estendida! Se você reparar bem, no lado esquerdo dela temos os coeficientes que acompanham as incógnitas (tensões nodais) e no lado direito, o resultado de cada equação.
Passo 6
O que nós queremos é simplificar ao máximo essa última matriz aí, de forma que satisfaça as condições que escrevemos no . Para fazer essa simplificação, vamos manipular o sistema através de determinadas operações elementares, transformando a matriz estendida do sistema de forma a deixa-la o mais triangular possível (chamada de matriz escalonada do sistema).
Naturalmente estas operações elementares devem preservar a solução do sistema e consistem em:
multiplicação de um linha por uma constante não nula
substituição de uma linha por ela mesma somada a um múltiplo de outra linha.
permutação de duas linhas.
Chamaremos de linha e de coluna. é a linha e é coluna , por exemplo:
Vamos lá!
Pronto! Viu só como essa ferramenta foi útil! O sistema de três equações e três incógnitas de antes, vai ficar assim:
Agora ficou tudo mais fácil! Peguemos a equação :
E agora, a equação , uma vez que já sabemos o valor de :
Por último, a equação , dado que já sabemos o valor de e :
E voilà! Obtemos nossas respostas!
Viu só! Nem precisamos do !