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Enunciado

Elétrica - Johnson, D. E., Hilburn, J. L., Johnson, J. R. - Fundamentos de Análise de Circuitos Elétricos, PHB- Ed: 4º - Capítulo 9.5 - Ex. 1

Calcule a resposta forçada se

(d^2 x)/(d t^2) + (4 d x)/(d t) + 3 x = f (t)

Onde f ( t ) é dada por (a) 6 , (b) 8 e^(- 2 t) , (c) 6 t + 14 .

Passo 1

Então pessoal, para cada tipo de f ( t ) , nós tentaremos respostas forçadas diferentes. Vamos usar a seguinte tabela para isso:

Como cada caso é um caso, vamos começar pela letra ( a ) .

Passo 2

Na letra ( a ) , temos que a f ( t ) é uma constante igual a 6 , por isso, tentaremos uma resposta forçada que também é uma constante e que resolva a equação diferencial.

x_f = A

(d x_f)/(d t) = 0 ; (d^2 x_f)/(d t^2) = 0

Logo, substituindo na nossa equação, teremos:

0 + 0 + 3 A = 6

A = 2

Portanto, nesse caso, a resposta forçada é:

x_f = 2

Passo 3

Na letra ( b ) , temos que nossa f ( t ) é uma exponencial com o expoente igual a - 2 , portanto nossa resposta forçada também será:

x_f (t) = A e^(- 2 t)

(d x_f (t))/(d t) = - 2 A e^(- 2 t)

(d^2 x_f (t))/(d t^2) = 4 A e^(- 2 t)

Substituindo na nossa equação, teremos:

4 A e^(- 2 t) + 4 (- 2 A e^(- 2 t)) + 3 A e^(- 2 t) = 8 e^(- 2 t)

Podemos simplificar e cortar a exponencial que aparece em todos os termos:

4 A - 8 A + 3 A = 8

- A = 8

A = - 8

Portanto a resposta forçada será:

x_f (t) = - 8 e^(- 2 t)

Passo 4

Na letra ( c ) , temos que nossa f ( t ) é uma equação de primeiro grau, portanto nossa resposta forçada também será:

x_f (t) = A t + B

(d x_f (t))/(d t) = A

(d^2 x_f (t))/(d t^2) = 0

Substituindo em nossa equação diferencial, teremos:

0 + 4 A + 3 (A t + B) = 6 t + 14

4 A + 3 B + 3 A t = 6 t + 14

Para que a igualdade acima seja mantida para qualquer valor de t , é necessário que, todos os termos sem t da esquerda sejam iguais ao da direita, assim como os termos com t da esquerda sejam iguais ao da direita, isso é:

4 A + 3 B = 14

3 A t = 6 t

Da segunda equação, temos que:

3 A = 6

A = 2

E substituindo na primeira, teremos:

4 (2) + 3 B = 14

8 + 3 B = 14

3 B = 6

B = 2

Portanto, a nossa resposta forçada será:

x_f (t) = 2 t + 2

Resposta

a )

x_f = 2

b )

x_f (t) = - 8 e^(- 2 t)

c )

x_f (t) = 2 t + 2

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a resposta forçada se d 2 x d t 2 + 4 d x d t + 4 x = f t Onde f ( t ) é dado por (a) 6 e - 2 t , (b) 6 t e - 2 t .Sugestão: Em (b), tente x f = A t 3 e - 2 t
Calcule a resposta forçada se d 2 x d t 2 + 4 d x d t + 3 x = f t Onde f ( t ) é dado por (a) 2 e - 3 t + 6 e - 4 t , (b) 4 e - t + 2 e - 3 t
Calcule x , t0 , onde d x d t + 2 x + ∫ 0 t x d t = f t x 0 = - 1 E ( a ) f t = 1 e b f t = t 2
Calcule v para t0, se 0 circuito esta em regime permanente em t = 0.
Para o circuito do Exemplo 8.8, determine v ( t ) para t ≥ 0.